Konvergenz der Folge ((n^3)+ sin (n))/(n^6-n^2)^0.5

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10.11.2014, 19:50	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Folge ((n^3)+ sin (n))/(n^6-n^2)^0.5 Meine Frage: Hallo Zusammen, es geht um folgende Sache: Untersuchen Sie die folgende Folge auf Konvergenz und ermitteln Sie ggf. den Grenzwert: $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n^{3}+\sin(n) }{\sqrt{(n^{6}-n^{2}) } } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee ist, dass die Folge divergent ist, aber ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...bzw. wenn es nicht so ist wie ich beweisen soll, dass sie konvergent ist... An sich weiß ich, dass es hier um Grenzwerte geht...aber man kann ja hier nicht durch bloßes hinsehen beweisen... Für Lösungsansätze wäre ich euch sehr dankbar
10.11.2014, 19:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie immer bei solchen Brüchen klammert man den am schnellsten wachsenden Faktor in Zähler und Nenner aus - das ist hier jeweils $\begin{align} n^3 \end{align}$ ... EDIT: Bin weg - sind genug "Köche" da.
10.11.2014, 19:57	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisier doch erstmal die höchste Potenz oben und unten.
10.11.2014, 19:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du bei der Folge $\begin{eqnarray} a_n=\frac{n^3+1}{n^3-n} \end{eqnarray}$ den Grenzwert bestimmen? Welches Vorgehen würdest du verwenden? Lässt sich das vielleicht auch hier anwenden? Nebenbei: man sollte zumindest anmerken, dass die Folge für $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ nicht wohldefiniert ist. Edit: Bin hier raus.
10.11.2014, 20:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: Die Folge konvergiert. Woran kann man sowas relativ leicht erkennen? Sieh dir nur die höchsten Potenzen im Nenner und Zähler an. Dann hast du da einmal $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ im Zähler und $\begin{eqnarray} \sqrt{n^6}=n^3 \end{eqnarray}$ im Nenner. Das ist immer ein guter Indiz darauf, dass die Folge konvergiert. Jetzt kannst du nochmal konkreter darüber nachdenken wie du es am besten zeigst. Edit: Bin weg.
10.11.2014, 20:21	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also wenn ich $\begin{eqnarray} n^{3} \end{eqnarray}$ ausklammern soll, kommt ja dann doch eigentlich $\begin{eqnarray} a_{n} = \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3}) } }{\sqrt{n^{3}(n^{2}-(n^{\frac{2}{3} } )) } } \end{eqnarray}$ raus...aber wie soll mir das weiter helfen
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10.11.2014, 20:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da alle anderen weg sind, erinnere ich mal an die Potenzgesetze: Es gilt i.a. NICHT $\begin{align} n^{a\cdot b} = n^a\cdot n^b \end{align}$ , sondern $\begin{align} n^{a{\color{red}+}b} = n^a\cdot n^b \end{align}$ ... Es ist wirklich grauenhaft, wie du den Radikanden da im Nenner umgeformt hast.
10.11.2014, 20:33	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht, wenn du $\begin{eqnarray} n^{3} \end{eqnarray}$ ausklammerst bleibt in der Differenz in der Klammer hinten $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ stehen. Dann ziehst du das $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} n^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ aus der Klammer und kürzt mit dem Zähler. Dann kannst du nochmal $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ aus dem Nenner ausklammern, wieder kürzen (geht natürlich auch einfacher). Dann schau dir den verbleibenden Ausdruck an. Alle noch vorhandenen ns stehen dann im Nenner. Und dann lass n mal gegen unendlich...
10.11.2014, 21:00	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit konnte ich folgen $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{\sqrt{n^{3}(n^{3}-\frac{1}{n} }) } \end{eqnarray}$ Ich soll aber stattdessen: $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{\sqrt{n^{1,5}(n^{4,5}-n^{0.5} ) } } \end{eqnarray}$ schreiben???
10.11.2014, 21:09	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die erste Gleichung ist super. Jetzt zieh das $\begin{eqnarray} n^3 \end{eqnarray}$ aus der Wurzel! Also $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{n^{\frac{3}{2} }\sqrt{(n^{3}-\frac{1}{n} }) } \end{eqnarray}$
10.11.2014, 21:27	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{\sqrt{n^{1,5}(n^{4,5}-n^{0.5} } } \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{3}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{n^{1.5} \sqrt{(n^{3}-\frac{1}{n} }) } <br /> \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{n^{1.5}(1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } ) }{\sqrt{n^{3} (1-x^{(-4)} }) } <br /> \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} a_{n} := \frac{1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } }{\sqrt{ (1-x^{(-4)} }) } \end{eqnarray}$ ???
10.11.2014, 21:30	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ersetz das letzte x durch ein n, dann siehts gut aus. Und was passiert da jetzt bei großen Werten für n?
10.11.2014, 21:30	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Den ersten Therm vergessen der ist müll
10.11.2014, 21:40	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Na folgendes oder??? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \frac{1+\frac{\sin(n) }{n^{3} } }{\sqrt{ (1-x^{(-4)} }) } = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray}$
10.11.2014, 21:43	Huzz	Auf diesen Beitrag antworten »

10.11.2014, 22:10	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur um zu sehen, ob ich es vertstanden habe $\begin{eqnarray} b_{n} := \frac{n^{5}+2n^{4} }{n^{2}+3 } <br /> = \frac{n^{3}+2n^{2} }{1+\frac{3}{n^{2}}}= \frac{n+2}{n^{-2}+3n^{-4} } = \frac{1+\frac{2}{n} }{n^{-3}+3n^{-5} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \frac{1+\frac{2}{n} }{n^{-3}+3n^{-5} } = \frac{1}{0} = nan \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ divergent????
10.11.2014, 22:21	BogusInf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du darfst afaik nicht durch die höchste Potenz aus dem Zähler den Nenner dividieren (wenn die höchste Potenz im Nenner echt kleiner als die im Zähler ist!), sonst hättest ja ne Division durch 0 und die ist böse Du hast kein nan, sondern unendlich. Warum? Schau mal: $\begin{eqnarray} \frac{n^3 + 2n^2}{1+\frac{3}{n^2}} \end{eqnarray}$ Hier bist du schon fertig! Warum? Was passiert wenn n gegen unendlich läuft? Im Zähler hast du $\begin{eqnarray} \infty + 2 \infty \end{eqnarray}$ das ist einfach unendlich. Und im Nenner? 1 + irgendwas gaaaanz kleines, also in der Unendlichkeit ist es 0. d.h. du hast $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{1+0} \end{eqnarray*}$ und das ist einfach unendlich. Damit ist die Folge divergent. Verstanden? Was du da machst heißt nicht, dass sie divergent ist, das wär schlichtweg falsch.
11.11.2014, 10:51	Ulli_aus_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo verstanden Danke
11.11.2014, 10:59	Strobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt irgendwie.... wenns man die Folge $\begin{eqnarray} \sqrt{x^{2}+3x+1 } - \sqrt{x^{2}+1 } \end{eqnarray}$ und umformt kommts dann do $\begin{eqnarray} \frac{2x+3+\frac{2}{x} }{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2} } }+\sqrt{1+\frac{1}{x^{2} } } } \end{eqnarray}$ raus. Aber von der ersten Folge ist der Grenzwert 1,5 und von der zwoaten unendlich Wie ist das möglich?

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