Problem beim finden der Partialsummenfolge

10.11.2014, 21:51	BogusInf	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem beim finden der Partialsummenfolge Hallo! Hab grad nen Hänger: Folgende Reihe ist gegeben: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ Bestimmt werden soll der Grenzwert, falls möglich, indem man eine Partialsummenfolge ermittelt. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \frac{2n+1}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ 2n+1 ist ja nichts anderes als (n+1) + n (zwecks Kürzen mal umgeformt) Also hab ich $\begin{eqnarray} \frac{(n+1)+n}{n(n+1)} \end{eqnarray}$ , das kann ich auf getrennte Bruchstriche schreiben und kürzen, dann erhalte ich: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Meine Partialsummenfolge schön angeschrieben wäre also: sn = $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ und das wäre 1 + 1/2 + 1/2 + 1/3 + 1/3 + 1/4 ... + n+1 + n+1. Mein Problem ist, dass hier keine schöne Teleskopreihe entsteht, hier fällt mir nichts weg. Auf ne Differenz kann ich das oben aber irgendwie nicht hinbiegen. Klar, der Vorzeichenwechsel käme dann noch dazu, da wir es mit einer alternierenden Reihe zu tun haben, nur das betrifft ja wieder alle ks... Was ich meine: Das sind ja praktisch zwei verschachtelte Schleifen (ja, bin Informatiker - und ja, wir sind die schlimmsten :p) $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ Hilfe, ich hab nen Knoten im Kopf und denk zu kompliziert!
10.11.2014, 21:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, da ist dir was völlig durcheinander geraten: Das Vorzeichen wechselt mit jedem $\begin{align} k \end{align}$ , d.h., die wirkliche Partialsumme ist $\begin{align} s_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1} \right) \end{align}$ Und die lässt sich wirklich wunderbar vereinfachen...
10.11.2014, 22:09	BogusInf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, habs grad gemerkt. Hätt gleich noch ne Frage: Ähnliches Beispiel. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} \end{eqnarray}$ Aufsplitten in ne schöne Summe: $\begin{eqnarray} \frac{A}{(n+2)}+ \frac{B}{(n+3)} \end{eqnarray}$ 2n + 5 = An + 3A + Bn + 2B. n = 0: 5 = 3A + 2B. A = 1, B = 1. sn = $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{n} (-1)^k (\frac{1}{(n+2)}+ \frac{1}{(n+3)}) \end{eqnarray}$ Ergibt ne schöne Teleskopsumme: -1/3 - 1/4 + 1/4 + 1/5 - 1/5 - 1/6 + 1/6 ... + 1/(k+2) - 1/(k+2) - 1/(k+3) Davon den Limes von k gegen unendlich bilden -> Grenzwert = -1/3 Korrekt so? Irgendwelche Mängel? Vielen Dank im Voraus!
10.11.2014, 22:21	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Korrektur der Indizes kann man es "technisch" so aufschreiben: $\begin{align} s_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \left( \frac{1}{k+2}+ \frac{1}{k+3} \right) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{k+3} + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k+3} = -\frac{1}{3} + \frac{(-1)^n}{n+3} \end{align}$ Dabei wurde in der ersten Summe eine Indexverschiebung vorgenommen, anschließend "löschen" sich die Summenglieder für $\begin{align} k=1,\ldots,n-1 \end{align}$ in beiden Summen gegenseitig aus - man muss nur noch aufsammeln, was übrig ist.
10.11.2014, 22:24	BogusInf	Auf diesen Beitrag antworten »
lol, ich denk mir hier immer "hat HAL 9000 probleme mit latex?" dann merk ich... hoppla, da ist ein skript blockiert... Danke dir und wunderschönen Abend noch!
10.11.2014, 22:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich bin nicht mehr LaTeXer, sondern MathJaxer. Und mit Plugins wie "NoScript" kann einen da schon mal ein seltsam leerer Beitrag erwarten.
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