Zirkulation und Fluss von Felder

11.11.2014, 00:21

Mathe 1905

Zirkulation und Fluss von Felder

Hi,

Ich weiß leider nicht genau wie man bei solch einer Aufgabe vorangehen muss, würde mich auf eure Hilfe sehr freuen.

[attach]36035[/attach]

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} rot v_{1} = 0 ,rotv_{2}= \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ansonsten weiß ich jetzt eigentlich nicht wirklich weiter unglücklich

Danke im Voraus Freude

11.11.2014, 02:06

Hausmann

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RE: Zirkulation und Fluss von Felder
Vorbereitend die Begriffe *):
Zirkulation des Vektorfeldes $\begin{align*} \vec v(x,y) \end{align*}$ entlang des Randes der Kurve K: $\begin{align*} \oint_K \vec v d\vec r \end{align*}$ und
Fluß durch eine von dieser Kurve umschlossene Fläche $\begin{align*} \vec f: \int \vec v d\vec f \end{align*}$ .
Entsprechend der Kreiskurve scheinen mir Polarkoordinaten zweckmäßig $\begin{align*} (r,\varphi) \end{align*}$ , wo sich beispielsweise für den Rand $\begin{align*} d \vec r=r d\varphi \cdot \vec e_{\varphi} \end{align*}$ ergibt.
.....
Hier beginnt die Arbeit :-)
.....
*) Nach der Rotation der Felder $\begin{align*} rot\ \vec v \end{align*}$ war zwar nicht gefragt, man könnte sie aber gut als Kontrolle nutzen - über den Satz von Stokes $\begin{align*} \oint_K \vec v d\vec r= \int rot \ \vec v \ d\vec f \end{align*}$ . Dann ist jedoch die dreidimensionale Form erforderlich:
$\begin{align*} rot\ \vec v_1= \begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix},\ rot\ \vec v_2= \begin{pmatrix} 0\\0\\2\end{pmatrix} \end{align*}$

11.11.2014, 07:18

Hausmann

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RE: Zirkulation und Fluss von Felder
Was mir noch eingefallen ist:

Für mich haben (von der Physik her und im Zusammenhang mit Vektorfeldern) Flächenelemente selbstverständlich eine Orientierung. Der Begriff des Flusses erscheint mir ansonsten sinnlos. Insofern irritiert mich die zweidimensionale Darstellung dieser Vektorfelder und auch der Versuch der rot - Bildung in der x - y - Ebene.
Was sagt der (Mathematik?) Lehrstoff dazu?
verwirrt

mfG

11.11.2014, 13:58

Mathe 1905

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Danke dir.
Also müsste ich jetzt quasi für die Brechnung der Zirkulation den Kreis in Polarkoordinaten angeben und die von dir angegebene Formel für die Zirkulation verwenden

$\begin{eqnarray*} r\in [0,2],\gamma\in [0,2\pi ] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r(\gamma )= \begin{pmatrix} 2\cos(\gamma ) \\ 2\sin(\gamma ) \end{pmatrix} , r'(\gamma )= \begin{pmatrix} -2\sin(\gamma ) \\ 2\cos(\gamma ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! <\begin{pmatrix} 2\cos(\gamma ) \\2\sin(\gamma ) \end{pmatrix} \,,\begin{pmatrix} -2\sin(\gamma ) \\ 2\cos(\gamma ) \end{pmatrix} >d\gamma \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} v_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! <\begin{pmatrix} -2\sin(\gamma ) \\2\cos(\gamma ) \end{pmatrix} \,,\begin{pmatrix} -2\sin(\gamma ) \\ 2\cos(\gamma ) \end{pmatrix} >d\gamma \end{eqnarray*}$

Nun muss ich die einzelnen Integrale ausrechnen und hab dann somit die Zirkulation für die Felder $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_{2} \end{eqnarray*}$ raus. Soweit richtig ? Wenn ja, wie siehts denn nun mit dem Fluss aus ? verwirrt

11.11.2014, 20:16

Hausmann

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Ich fange mal an (in der mir eher gewohnten Schreibweise)
$\begin{align*} d\vec r=r d\varphi\cdot \vec e_{\varphi} \end{align*}$ (Kreis), $\begin{align*} \vec v_1=r\cdot \vec e_{\varphi}\Rightarrow\vec v_1 d\vec r=0\Rightarrow\oint_K \vec v_1 d\vec r=0 \end{align*}$

11.11.2014, 21:14

Hausmann

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weiter
$\begin{align*} \vec v_2=r\cdot \vec e_{\varphi}\Rightarrow\oint_K \vec v_2 d\vec r=2\pi r^2 \end{align*}$

EDIT Was den Fluß angeht, gibt es für mich ein Dilemma: Die Vektoren liegen in der xy-Ebene, senkrecht also zur Flächennormale, und damit ist der Fluß strenggenommen null (Skalarprodukt). Das dürfte wohl nicht im Sinne des Erfinders sein. Was tun? Vektorfeld ändern? Definition des Flusse ändern (irgendwas betragsmäßiges ... )? mfG
verwirrt

11.11.2014, 22:26

Fancy

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Der Fluss durch die Fläche ist null

Man kann aber den Fluss durch den Kreis berechnen
da stehen die Normalenvektoren senkrecht auf dem Kreisumfang

11.11.2014, 23:16

Mathe 1905

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Ich danke euch sehr !
Also den Teil mit der Zirkulation habe ich soweit verstanden auch wenn ichs etwas anders ausgerechnet habe, es kommt auf das selbe hinaus.
Jedoch weiß ich jetzt immernoch nicht wie ich denn nun den Fluss ausrechne unglücklich

11.11.2014, 23:29

Hausmann

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Vorab eine Korrektur: $\begin{align*} \vec v_1=r\vec e_r,\vec v_2=r \vec e_{\varphi} \end{align*}$

Zitat:

Original von Fancy
Man kann aber den Fluss durch den Kreis berechnen da stehen die Normalenvektoren senkrecht auf dem Kreisumfang

Danke für den Hinweis!
Und, mehr für mich selber: Diese Definition des Flusses $\begin{align*} F:=\oint_K \vec v d\vec e_{\varphi} \end{align*}$ , was mit $\begin{align*} d\vec e_{\varphi}=-d\varphi \cdot \vec e_r \end{align*}$ auf $\begin{align*} F_1=-2\pi r,F_2=0 \end{align*}$ führt. uff! :-)

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