Rechteck in Rechteck, maximale Länge?

11.11.2014, 10:08

johngo

Rechteck in Rechteck, maximale Länge?

Hallo!
Ich habe folgendes Problem: in ein großes Rechteck soll ein schmäleres Rechteck mit bestimmter Breite d eingeschrieben werden. Wie lange kann das schmälere Rechteck maximal sein?

Also es ist eine große Schachtel mit gegebener Länge und Breite, in die ein schmales Brett von bestimmter Breite irgendwie schräg hineingelegt werden soll - wie lang darf dieses Brett maximal sein, damit es noch Platz hat?

Das könnte dann z.B. so aussehen:
Schachtel Länge a=50, Breite b=40,
Brett Länge c=maximal, Breite d=10.

Bei meinen Versuchen kam ich auf mehrere Gleichungen mit sin, cos, und Pythagoras, konnte diese Gleichungen jedoch nicht mehr lösen.

Weiß jemand, wie man die Länge des kleinen Rechtecks berechnen kann? (allgemein)

Danke!

11.11.2014, 22:15

Bürgi

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RE: Rechteck in Rechteck, maximale Länge?
Guten Abend,

[attach]36049[/attach]

unter der Voraussetzung, dass AB = 50 und BD = 40 (jeweils LE) ist, kannst Du folgende Gleichungen aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \frac xy = \frac45 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=100 \end{eqnarray*}$

Aus der 1. Gleichung (z.B.) x berechnen und diesen Term in die 2. Gleichung einsetzen. Ergibt den Wert für y. Dann mittels der 1. Gleichung den Wert für x bestimmen.

Die Länge l des Rechtecks ergibt sich dann aus:

$\begin{eqnarray*} (50-x)^2+(40-y)^2=l^2 \end{eqnarray*}$

11.11.2014, 23:41

johngo

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Vielen Dank Bürgi für diese ausführliche Antwort und die schöne Zeichnung!

Was ist nicht verstehe, warum ist das Verhältnis von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ ? Müsste dieses Verhältnis denn nicht auch irgendwie von der Breite des kleinen Rechtecks abhängen und nicht nur vom Verhältnis der Seiten des großen?

12.11.2014, 10:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von johngo
Was ist nicht verstehe, warum ist das Verhältnis von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y}=\frac{4}{5} \end{eqnarray*}$ ?

Allerdings, hier irrt Bürgi: Dieses Verhältnis stimmt nur im Grenzwert $\begin{align*} d\to 0 \end{align*}$ .

Allgemein gilt zunächst nur das Ähnlichkeitsverhältnis $\begin{align*} \frac{x}{y} = \frac{b-y}{a-x} \end{align*}$ .

Was mittelbar leider auf eine hässliche Gleichung vierten Grades hinausläuft. Augenzwinkern

Und noch etwas: Wir betrachten mal o.B.d.A. $\begin{align*} a\geq b \end{align*}$ sowie auch $\begin{align*} d<b \end{align*}$ . Wenn für das durch obiges Verfahren ermittelte Brett für dessen Maximallänge $\begin{align*} l=\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2} \end{align*}$ bei "schiefem" Einbau dann aber letztlich $\begin{align*} l<a \end{align*}$ herauskommt, dann kann man das Brett sinnvollerweise auch achsenparallel einbauen und somit wenigstens noch Maximallänge $\begin{align*} a \end{align*}$ erreichen! Diese Situation liegt hier bei $\begin{align*} a=50,b=40,d=10 \end{align*}$ noch nicht vor, aber z.B. bei $\begin{align*} d=20 \end{align*}$ schon! smile

18.11.2014, 15:10

johngo

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Habe diesen Ansatz von einem Mathematikprogramm lösen lassen, funktioniert!

Vielen Dank!

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