Markov Kette des 'Ehrenfest Modelles'.

11.11.2014, 12:40	Bierdeckel	Auf diesen Beitrag antworten »
Markov Kette des 'Ehrenfest Modelles'. Ich soll in meiner Übung Beweisen, dass die stationäre Verteilung $\begin{eqnarray} \pi = \begin{pmatrix} \pi_1 & \pi_2 & \cdots & \pi_{m-1} & \pi_m \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Markov Kette des Ehrenfest Modelles mit $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Zuständen gleich $\begin{eqnarray} \pi_i = {m\choose i} \cdot \frac{1}{2^m} \end{eqnarray}$ ist. Das Ehrenfest Model hat laut Wikipedia diese Zustandswahrscheinlichkeiten: $\begin{eqnarray} p_{i,j}=\begin{cases} \frac{i}{m},&\text{falls }j=i-1\,,\\ \frac{m-i}{m},&\text{falls }j=i+1\,,\\ 0 &\text{sonst}.\end{cases} \end{eqnarray}$ Die Matrix der Markov Kette sieht demnach für $\begin{eqnarray} $m =4$ \end{eqnarray}$ ganz grob so aus. $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} 0 & p_{1,2} & 0 & 0 \\ p_{2,1} & 0 & p_{2,3} & 0 \\ 0 & p_{3,2} & 0 & p_{3,4} \\ 0 & 0 & p_{4,3} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um die stationäre Verteilung zu beweisen reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \pi = \pi \cdot P \end{eqnarray}$ gilt. Nur das klappt irgendwie nicht. Schon die erste Gleichung dieses Systems $\begin{eqnarray} \pi_1 = \pi_1 \cdot 0 + \pi_2 \cdot p_{2,1} + \pi_3 \cdot 0 + \pi_4 \cdot 0 = \pi_2 \cdot p_{2,1} \end{eqnarray}$ stimmt nicht. Denn nach einsetzen der obigen Formeln $\begin{eqnarray} {m\choose 1} \cdot \frac{1}{2^m} = {m\choose 2} \cdot \frac{1}{2^m} \frac{i}{m} \end{eqnarray}$ lässt sich dieses unübersichtliche Ding zu $\begin{eqnarray} m = m -1 \end{eqnarray*}$ wegkürzen (Wolfram Alpha). Demnach wäre das eher der Beweis, dass die stationäre Verteilung eine andere ist. Ich versteh hier nicht wo der Fehler liegt.
11.11.2014, 12:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zustandsraum im Ehrenfest-Modell ist $\begin{align} \{0,1,\ldots,m\} \end{align}$ , nicht wie bei dir $\begin{align} \{1,\ldots,m\} \end{align}$ . Dadurch kommt es bei dir zu dem Fehler, dass dein $\begin{align} P \end{align}$ gar keine stochastische Matrix ist, d.h. in Zeile 1 hast du gar nicht Zeilensumme 1.
11.11.2014, 13:33	Bierdeckel	Auf diesen Beitrag antworten »
Silly me. Das erinnert mich wieder mal daran die Definitionen der Mengen genau aufzuschreiben. Ich habs zwar noch nicht gelöst, die Sache scheint aber jetzt klarer zu sein. Herzlichen Dank!
11.11.2014, 13:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das angegebene $\begin{align} \pi_i \end{align}$ wird erst dann zur Wkt-Verteilung, wenn man es von $\begin{align} i=0,1,\ldots,m \end{align}$ betrachtet: $\begin{align} \sum_{i=0}^m \binom{m}{i} \frac{1}{2^m} = 1 \end{align}$ . Fehlt der Summand für $\begin{align} i=0 \end{align}$ , so haben wir $\begin{align} \sum_{i=1}^m \binom{m}{i} \frac{1}{2^m} = 1-\frac{1}{2^m} < 1 \end{align}$ .
11.11.2014, 14:19	Bierdeckel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ging jetzt dann recht gut von der Hand. Danke und LG!

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