Untergruppe von Q

11.11.2014, 13:36	Koliasp	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe von Q Meine Frage: Hallo Leute, ich hab folgende Aufgabe. Eine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \le \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ ist genau dann eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , wenn es keine Untergruppe $\begin{eqnarray} V \le U \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} V \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich weiß nur, dass jede endlich erzeugte Untergruppe von $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Kann mir das weiterhelfen? Vielen Dank schon einmal für eure Bemühungen.
11.11.2014, 16:10	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Hinrichtung ist ja zu zeigen: Ist $\begin{align} V \subset \mathbb Q \end{align}$ , so gilt $\begin{align} V \not\cong \mathbb Z \times \mathbb Z \end{align}$ . Das ist eigentlich recht einfach. Wenn das Tensorprodukt (und ein paar Eigenschaften) schon bekannt ist, ist es ein Einzeiler. Ansonst aber auch nicht schwer. Zur Rückrichtung: Wenn $\begin{align} U \end{align}$ keine Untergruppe von $\begin{align} \mathbb Q \end{align}$ ist, so kann man solch ein $\begin{align} V \end{align}$ leicht konstruieren. Auch hier geht es mit dem Tensorprodukt evtl. wieder schneller.
11.11.2014, 16:39	Koliasp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo tmo, danke für deine Antwort. Tensorprodukte sind mir nicht bekannt und hatten wir leider auch nicht in der Vorlesung. Wenn $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist, dann wäre $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ja endlich erzeugt und somit zyklisch, da $\begin{eqnarray} V \le U \le \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ , was ein Widerspruch wäre. Stimmt das so? Hast du noch nen Tipp, wie ich mir ohne Tensorprodukt ein solches $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ konstruieren kann? Danke
11.11.2014, 16:49	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das war schon die Hinrichtung. In der Rückrichtung musst du dann ja das V konstruieren. Dazu musst du nur zeigen, dass es 2 linear abhängige Elemente in U gibt, wenn U nicht in Q enthalten ist.
11.11.2014, 17:11	Koliasp	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du nicht eher 2 linear unabhängige Elemente in U, wenn U nicht in Q entahlten ist?
11.11.2014, 17:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da haben zwei Buchstaben gefehlt
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11.11.2014, 17:17	Koliasp	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja also irgendwie bin ich blind. Wir haben dann also $\begin{eqnarray} \left\{ \frac{x_1}{y_1},\frac{x_2}{y_2} \right\} \subseteq U \end{eqnarray}$ . Wie kann ich aus diesen Elementen ein V konstruieren, welches isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. LG
11.11.2014, 17:45	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du 2 beliebige Elemente einer abelschen Gruppe hast, die linear unabhängig sind, so erzeugen diese immer eine zu $\begin{align} \mathbb Z \times \mathbb Z \end{align}$ isomorphe Untergruppe. Das ist trivial, denn gerade die Definition von linear unabhängig. Aber noch eine kleine Warnung: Die Tatsache, dass U zwei linear unabhängige Elemente enthält, wenn U sich nicht in $\begin{align} \mathbb Q \end{align}$ einbetten lässt, ist ohne den Formalismus des Tensorierens oder Lokalisierens nicht ganz trivial. Da muss man schon ein wenig arbeiten.

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