asymptotisch erwartungstreue Schätzer und schwache Konsistenz

11.11.2014, 18:02	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
asymptotisch erwartungstreue Schätzer und schwache Konsistenz Meine Frage: Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme: $\begin{eqnarray} \left(\mathbb P_{\theta}\right)_{\theta\in \Theta} \end{eqnarray}$ sei eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_{1}, X_{2},... \end{eqnarray}$ seien unabhängig und identisch gegen $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\theta} \end{eqnarray}$ verteilt und $\begin{eqnarray} \left(\hat{\theta}_{n}\left(X_{1},...,X_{n}\right) \right)_{n\geq 1} \end{eqnarray}$ sei eine Folge bon Schätzern für den Parameter $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ , für die gilt: (i) $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty } \mathbb E_{\theta}\left(\hat{\theta}_{n}\left(X_{1},...,X_{n}\right) \right) =\theta , \forall \theta \in \Theta \end{eqnarray}$ (die Folge ist asymptotisch erwartungstreu) (ii) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } Var_{\theta}\left(\hat{\theta}_{n}\left(X_{1},...,X_{n}\right) \right)=0,\forall \theta\in\Theta \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray} \theta\in\Theta \end{eqnarray}$ diese Folge in Wahrscheinlichkeit (unter $\begin{eqnarray} \mathbb P_{\theta} \end{eqnarray}$ ) gegen den tatsächlichen Parameter $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ konvergiert (schwache Konsistenz). Meine Ideen: In der Vorlesung haben wir gesagt, dass ein Schätzer asymptotisch erwartungstreu ist, wenn der Erwartungswert annähernd erreicht wird. Schwach konsistent haben wir wie folgt definiert: Eine Folge von Schätzern $\begin{eqnarray} \hat{\theta}_{n} : \mathbb R^{n} \rightarrow \Theta \end{eqnarray}$ heißt schwach konsistent, falls $\begin{eqnarray} \hat{\theta}_{n}(x_{1},...,x_{n}) \rightarrow \theta \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit, das heißt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0: \lim_{n \to \infty } \mathbb P_{\theta}\left(\| \hat{\theta}_{n}\left(x_{1},...,x_{n}\right)-\theta \| > \epsilon \right) =0, \forall \theta\in\Theta \end{eqnarray}$ . Leider kann ich damit nicht wirklich viel in Bezug auf die Aufgabe anfangen und hab keinerlei Ideen, wie ich überhaupt anfangen soll, bzw. wie ich am Besten an die Aufgabe herangehen kann. Vielen Dank im Voraus schon mal für jegliche Hilfe

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