Ist das eine Stoppzeit?

11.11.2014, 19:05	katze34	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das eine Stoppzeit? Meine Frage: Hallo, sei $\begin{eqnarray} (\xi_n)_{n\in\mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen mit Werten in $\begin{eqnarray} \left\{-1,1\right\} \end{eqnarray}$ . Definiere $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ rekursiv durch $\begin{eqnarray} X_0:=0, X_{n+1}:=X_n+\xi_n \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} T:=\inf\left\{n\geq 0\text{ so dass }X_{n+5}\geq X_n+2\right\} \end{eqnarray}$ eine Stoppzeit? Die zugehörige Definition ist folgende: Sei $\begin{eqnarray} (X_n)_{n\in\mathbb{N}_0} \end{eqnarray}$ eine Markovkette mit Zustandsraum $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}) \end{eqnarray}$ . Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} \tau\colon\Omega\to\mathbb{N}_0\cup\left\{\infty\right\} \end{eqnarray}$ heißt eine Stoppzeit, wenn $\begin{eqnarray} \forall~n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{\tau\leq n\right\}\in\sigma(X_0,\ldots,X_n):=\sigma\left(\bigcup_{k=0}^n \left\{X_k^{-1}(\mathcal{P}(E))\right\}\right) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Jetzt habe ich Probleme, diese Definition anzuwenden, um zu zeigen/ zu widerlegen, dass <math>T</math> eine Stoppzeit ist. Es gilt jedenfalls für beliebiges $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N}: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{T\leq n\right\}=\bigcup_{m=0}^{n}\left\{T=m\right\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left\{T=m\right\}=\left\{X_5<2,~X_6<X_1+2,...,~X_{(m-1)+5}<X_{m-1}+2,X_{m+5}\geq X_{m}+2\right\} \end{eqnarray}$ . Kann man das nun irgendwie so umschreiben, dass man sieht, ob (oder ob nicht) $\begin{eqnarray} \left\{T=m\right\}\in\sigma(X_0,...,X_n) \end{eqnarray}$ ?

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