Beweis Grenzwert einer bel. Folge

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PhilPerlmutter Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Grenzwert einer bel. Folge
Hallo erstmal,
Ich hoffe mir kann jemand einen Ansatz für die im Anhang befindliche Aufgabe nennen, ich komme einfach nicht drauf:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es vereinfacht die Dinge erheblich, wenn ihr bereits den Cauchyschen Grenzwertsatz kennt und benutzen dürft - ist das rein zufällig der Fall?
PhilPerlmutter Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hatten wir nicht.
Sorry btw, dass ich im falschen Forum gepostet hatte, heute ist nicht so mein tag smile .
kingcools Auf diesen Beitrag antworten »

a) sollte einfach sein, wenn ich mich nicht täusche. Eine präzise Formulierung liegt mir auch gerade nicht in den Fingerspitzen, aber vielleicht hilft dir ja folgende Beobachtung.

Die Folge erfüllt genau die genannten Eigenschaften.
Bei dieser kannst du ja z.B. das ganze umschreiben in .
Du würdest dann erhalten.

Nun ist der Fall der Aufgabe natürlich allgemeiner. Aber die Bedingung, dass der Limes des Quotienten aufeinanderfolgender Glieder konstant ist, bedeutet gerade, dass ab einem gewissen n der Unterschied zu der konstanten a beliebig klein wird.
Ab irgendeinem Glied kannst du also a_n abschätzen als a^n. Das musst du nur mathematisch präzise formulieren und die Aufgabe ist gelöst.

b)
Es MUSS (sonst macht die Aufgabe keinen Sinn) darauf hinauslaufen, dass n^n/n! die Quotientenbedingungen erfüllt. Untersuche was im Grenzwert ergibt. Es sollte gerade e rauskommen. Dann wäre mit a) die Aufgabe gelöst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kingcools
Ab irgendeinem Glied kannst du also a_n abschätzen als a^n. Das musst du nur mathematisch präzise formulieren und die Aufgabe ist gelöst.

Einfacher gesagt als getan: Nicht umsonst umfasst der Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes (CGS) doch etwas mehr als ein, zwei Zeilen. Augenzwinkern


Ich skizziere trotzdem mal den Beweis von 1. unter Nutzung des CGS, weil ansonsten der Beweis hier ganz analog wie der des CGS verlaufen müsste (kannst ja recherchieren, wie der funktioniert):

Wir definieren , dann gilt im Fall nach Voraussetzung . Der CGS liefert dann die Konvergenz , wobei die Summe links ausgeschrieben



bedeutet, mithin ergibt sich nach Delogarithmierung , woraus wegen direkt die Behauptung folgt.

Sieht man den CGS auch als gültig an für die beiden Extremfälle uneigentlicher Grenzwert (was er tatsächlich ist), dann ist man hier bereits fertig. Andernfalls ist der Fall extra zu betrachten, was mit etwas Epsilontik machbar ist.
Gurki Auf diesen Beitrag antworten »

Mit folgendem Ansatz (der die bereits dargelegte Idee verfolgt) geht's eigentlich recht flott:

Sei beliebig.

Setze zunächst

Lt Vor. gilt also

Somit ex. mit für alle

Also folgt:


Weiter gilt nun:

Und man kann abschätzen:



Und jetzt ist der Weg ins Ziel nicht mehr weit...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mehr oder weniger der CGS-Beweis, transformiert auf Produkte statt Summen. Allerdings bereitet auch hier jetzt Sonderfall Probleme in der Argumentation - einige der Abschätzungen klappen dann nicht mehr genau so. Augenzwinkern
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Fall a = 0 ist trivial, da dann die n-te Wurzel der Folge trivialerweise gegen Null geht. (da schon die Folge selber gegen Null gehen muss)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem bloßen folgt nicht - soweit zu dem "trivial". Augenzwinkern
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Da haste mich!
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