[Dreiecksungleichung Betrag mit Sigma] Beweisen Sie per Vollständie Induktion

11.11.2014, 19:50	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
[Dreiecksungleichung Betrag mit Sigma] Beweisen Sie per Vollständie Induktion Meine Frage: Hallo liebes matheboard, wir haben als Übungsaufgabe folgende Gleichung bekommen, zeigen Sie per vollständige Induktion dass $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^{n} \|a_{i}\| ~ \geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n} a_{i}\|<br /> \end{eqnarray}$ gilt: Meine Ideen: Mein Ansatz: Basis: Sei n = 0 $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^{0} \|a_{i}\| ~ \geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{0} a_{i}\| \\<br /> \|a_{0}\| &\geq \|a_{0}\|<br /> \end{eqnarray}$ Annahme: $\begin{eqnarray} <br /> \exists_{n_{0}} ~ \sum\limits_{i=0}^{n_{0}} \|a_{i}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} a_{i}\|<br /> \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} \|a_{i}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} a_{i}\|<br /> \end{eqnarray}$ Schritt: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} \|a_{i}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br /> (\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} \|a_{i}\|) + \|a_{n_{0} + 1}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} a_{i}\| + \|\sum\limits_{i=n_{0} + 1}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br /> \text{Durch I. Annahme , gilt } ~ \sum\limits_{i=0}^{n_{0}} \|a_{i}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} a_{i}\| ~ \text{ und wird deshalb nicht weiter beachtet} \\<br /> \|a_{n_{0} + 1}\| &\geq \|\sum\limits_{i=n_{0} + 1}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br /> \|a_{n_{0} + 1}\| &\geq \|\sum\limits_{i=n_{0} + 1}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br /> \|a_{n_{0} + 1}\| &\geq \|a_{n_{0} + 1}\|<br /> \end{eqnarray}$ Das ganze kommt mir jedoch viel zu banal vor ... Oder ist der Ansatz am ende sogar richtig ?
11.11.2014, 20:42	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend. Damit du nur die Teile lesen musst, die dich interessieren: Ich werde zuerst etwas zur Form anmerken, das unbedingt notwendig ist. Dann werde ich etwas inhaltliches anmerken und zum Schluss wird ein längerer Abschnitt kommen, den ich dir zwar empfehle zu lesen, der aber eher genereller Natur ist, also für die Lösung der Aufgabe nicht unbedingt notwendig ist. Du müsstest eigentliche deinen Beweis noch um umgekehrte Implikationspfeile ergänzen(denn nur so hast du sicher gestellt, dass am Ende deine Aussage ganz oben aus der wahren Aussage ganz unten folgt), also etwa so: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} \|a_{i}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br />\Leftarrow (\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} \|a_{i}\|) + \|a_{n_{0} + 1}\| ~ &\geq ~ \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}} a_{i}\| + \|\sum\limits_{i=n_{0} + 1}^{n_{0} + 1} a_{i}\| \\<br /> \Leftarrow \dots \end{eqnarray}$ . In der Induktionsvoraussetzung: "es existiert $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ mit ..." ist etwas merkwürdig. In der I.V nimmt man einfach ein festes $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ her und nimmt an, dass die Aussage für dieses erfüllt ist. (Ende erster Abschnitt) Weiter solltest du den Schritt von der zweiten in die erste Zeile etwas begründen, warum gilt das genau? (Bedenke, du musst hier unter Annahme der zweiten Zeile zeigen, dass die erste gilt. Wie man dieses umständliche Denkmuster vermeiden kann, werde ich im dritten Abschnitt erläutern. ) Der Textabschnitt zwischen der 2. und der 3. Zeile ist etwas ungünstig gewählt. Eigentlich folgt die 2. Zeile aus der 3., indem zu der Ungleichung aus der 3. Zeile die bekannte Ungleichung aus der Induktionsvoraussetzung addiert wird. Der Rest stimmt. (Ende zweiter Abschnitt) Dieses Vorgehen, bei einer Induktion im Induktionsschritt von dem zu zeigendem auszugehen (in diesem Fall $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{n_0+1}\|a_i\| \geq \left\|\sum_{i=0}^{n_0+1}a_i\right\| \end{eqnarray}$ ) und dann durch umgekehrte Implikation zu einer wahren Aussage zu kommen, ist aus irgend einem Grund sehr beliebt, es hat aber deutliche Nachteile, auf Grund derer man sich das lieber abgewöhnen sollte. Einen Nachteil siehst du bereits bei dir. Es ist ein ungewohntes Denkmuster, Begründungen hinzuschreiben, die beschreiben, warum man aus einer Zeile auf die vorherige schließen kann. Bei Gleichungen mag das ganz gut funktionieren, bei Ungleichungen ist es mMn. besser zu vermeiden, dort geht es eigentlich viel einfacher, wenn man mit Ungleichungsketten arbeitet. Ich werde es dir anhand deines Beispiels zeigen (dabei werde ich genau den gleichen Schritt, der dir oben noch fehlt auch hier nicht begründen, das ist noch für dich zu tun) : Es gilt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=0}^{n_{0} + 1} \|a_{i}\| = \sum\limits_{i=0}^{n_{0}} \|a_{i}\| + \|a_{n_0+1}\| \overset{I.V.}{\geq} \left\|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}}a_{i}\right\| + \|a_{n_0+1}\| \overset{Warum ?}{\geq} \left\|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}}a_{i} + a_{n_0+1}\right\| = \left\| \sum\limits_{i=0}^{n_{0}+1}a_{i} \right\| \end{eqnarray}$ . Somit gehen wir nicht von dem zu zeigenden aus, sondern benutzen überall nur bekannte Ungleichungen und folgern so insgesamt die Induktionsbehauptung. Ich hoffe du kannst erkennen, dass das etwas schöner ist.
11.11.2014, 21:26	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Guppi12, erstmal vielen Dank für die Erläuterung. Wir haben die Induktion so in der Vorlesung behandelt und deshalb kenn ich Sie leider auch nicht anders, allerdins stimmt es schon, dass es so wesentlich kompakter aussieht . $\begin{eqnarray} <br /> \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}\|} ~a_{i} + \|a_{n_{0}+1}\| ~ \geq^{\text{warum}} \|\sum\limits_{i=0}^{n_{0}\|} ~a_{i} + a_{n_{0}+1}\|<br /> \end{eqnarray}$ Das folgt doch aus der Dreiecksungleichung, kann ich die hier verwenden ? Die wird doch im Endeffekt mehr oder weniger jetzt erst bewiesen oder ?
11.11.2014, 21:55	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, das folgt aus der Dreiecksungleichung. Diese wird hier nicht bewiesen, sondern verallgemeinert. Bekannt sein sollte ja die Dreiecksungleichung \|a+b\| <= \|a\|+\|b\|. Diese wird hier nun von 2 auf beliebig viele Summanden verallgemeinert. Wenn diese Dreiecksungleichung für 2 Summanden nicht vorausgesetzt werden kann (was ich nicht glaube), so müsstest du diese noch getrennt beweisen.

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