Nebenbedingung zur Variablenelimination/Lagrange-Ansatz gesucht

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Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »
Nebenbedingung zur Variablenelimination/Lagrange-Ansatz gesucht
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe gerade vor einem,für mich, nicht mehr lösbaren Problem. Ich bin auf der Suche für eine Nebenbedingung,damit ich eine a) Variablenelimination und b) Lagrange-Ansatz durchführen kann um eine Extremwertuntersuchung für eine Funktion mit 2 Variablen durchzuführen.

Der Aufgabentext lautet wie folgt:

Ein Kunsthandwerker fertigt Wanduhren und Tischleuchten. Jedes aufwändig gestaltete Produkt ist dabei ein Unikat. Der Wert W seiner Produkte hängt dabei von der eingesetzten Zeit ab und ist aus Erfahrungswerten mit der Funktionsgleichung W(x, y) = ln (2x) + lny bestimmbar. x legt dabei die Zeit fest, die die Fertigung und Gestaltung einer Wanduhr verbraucht. Analog beschreibt y den Zeitaufwand für eine Tischleuchte. Die natürliche Logarithmusfunktion ln ist hier für die Modellierung des Wertzuwachses geeignet, weil das Zuwachsänderungsverhalten für eine geringe Fertigungszeit größer ist, als wenn bereits viel Zeit in die Gestaltung des Produkts investiert wurde. Der Kunsthandwerker arbeitet pro Woche 30 Stunden und fertigt in dieser Zeit genau eine Wanduhr und eine Tischleuchte. Die Zeit soll so auf die Produkte verteilt werden, dass der Wert maximiert wird. Lösen Sie diese Aufgabe mit der Methode a) Variablenelimination b) Lagrange.

Meine Ideen:
Ich habe nun das ganze jeweils mit den von mir aufgestellten Nebenbedingungen:

X+y=30
2x+y=30

Nach Lagrange und Variablenelimination durchgerechnet. Komme allerdings nie auf das richtige Ergebnis(a: x=15 b: x,y=15).

Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie die richtige Randbedingung sein muss? Mein Komillitone und ich kommen echt nicht weiter.

Vielen Dank

Daniel
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur eine Nebenbedingung, diese lautet bei beiden Rechenmethoden



Im Falle der Variablensubstitution setzt du diese in die Funktionsgleichung ein



und berechnest den Extremwert. Dabei kommt auch sogleich x = 15 heraus (und y = ... )
_____________

Wie wird nun dein Ansatz nach Lagrange lauten?
Naturgemäß wird auch dieser die Resultate x = 15 und y = 15 liefern.

mY+
Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »

Danke zunächst für deine Antwort. Ich meinte, dass ich es jeweils mit einem meiner Ansätze probiert habe, nicht mit beiden :-). Habe da wohl beim Rechnen mit der Nebenbedingungen x+y=30 einen Fehler gemacht. Habe es nun nochmal gerechnet, bei der Variablenelimination komme ich nun auf x=15, also richtig. Bei Lagrange leider nicht, nachfolgend mein Ansatz:

W(x,y,lambda) = ln(2x)+ln y - lambda × 0
Nebenbed.: x+y-30=0

Zielfunktion: W(x,y,Lambda) = ln(2x)+ln y - lambda×(x+y-30)

(1) Partiell abgeleitet nach x: 1/x - lambda ; x=1/lambda
(2) Partiell abgeleitet nach y: 1/y - lambda ; y=1/lambda
(3) Partiell abgeleitet nach Lambda: - x - y + 30

Ich setze nun für x und y, lamba ein:

- 1/lambda - 1/lambda + 30 = 0

Hier komme ich nicht mehr weiter :-(
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichsetzen deiner ersten beiden Gleichungen und liefert x=y. Setzt man dies in die 3.Gleichung ein, erhält man x=y=15.
Danielsaw Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke dafür.
Allerdings würde ich dann für Lambda 2/30 herausbekommen. Wenn ich das dann in Gleichung 1 und 2 einsetze, erhalte ich nicht 15 für x oder y.

Kann es sein, dass man das Ergebnis des Lagrange manchmal logisch interpretieren muss? Wenn x oder y unterschiedlich wären, würde ich hier ja nicht weiter kommen :-(.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Danielsaw
Okay, danke dafür.
Allerdings würde ich dann für Lambda 2/30 herausbekommen. Wenn ich das dann in Gleichung 1 und 2 einsetze, erhalte ich nicht 15 für x oder y.
...

Das halte ich für eine Fehlinterpretation bzw. einen Rechenfehler deinerseits, denn 2/30 kann ja zu 1/15 gekürzt werden.
Und nachdem , sollte dir das richtige Resultat offensichtlich werden.

Anmerkung:
Die 3. Gleichung - die Nebenbedingung - ist NICHT abzuleiten, denn sie gilt ohnehin nur für sich (also für x und y). Somit ist in diese lediglich einzusetzen.

mY+
 
 
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