Euler-Methode

Neue Frage »

11.11.2014, 23:09	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Euler-Methode Meine Frage: Hallo da draußen :-) Ich habe ein Problem mit einer Aufgabenstellung zum AWP $\begin{eqnarray} x'(t) = t - x^4(t) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x(0)=0 \end{eqnarray}$ . Ich soll das Euler-Polygonzugverfahren für die Zerlegung $\begin{eqnarray} t_k = \frac{k}{N}, k = 1,2,...,N \end{eqnarray}$ formulieren und dann N so bestimmen, dass $\begin{eqnarray} \|x(t_k)-x_k\|\leq 10^{-4} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Wie der Euler-Polygonzug arbeitet habe ich verstanden. Ich weiß jedoch nicht, wie das mit "formulieren" gemeint ist. Ich habe bereits bewiesen, dass x(t) auf [0,1] eine eindeutige Lösung besitzt und $\begin{eqnarray} x(t) \in [-1,1] \end{eqnarray}$ ist. Nun müsste ich doch das Intervall von t in N Teile zerlegen... und die Schrittweite ist dann k? Aber das ergibt ja keinen Sinn, da k bereits mit 1 startet. Ich glaube, ich hab da etwas noch garnicht richtig verstanden. Zum zweiten Teil bin ich folglich auch noch ratlos. Berechnet man damit eine Art Fehler?
12.11.2014, 01:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
nun, k ist bestimmt nicht die Schrittweite sondern $\begin{eqnarray} \Delta t= 1/N \end{eqnarray}$ sofern x(1) gesucht ist. 1.) es würde sich doch anbieten: $\begin{eqnarray} x(t_1)=x(0)+x'(0)\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t_2)=x(t_1)+x'(\Delta t)\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(t_3)=x(t_2)+x'(2 \Delta t)\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ .... $\begin{eqnarray} x(1)=x(t_{N-1} )+x'((N-1)\Delta t)\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ das ist jedenfalls das, was ich unter Euler-Heun verstehe. ---------------------------------------------------- zur Schranke: ich lese das so: $\begin{eqnarray} \bigwedge _{k\in \{1, \cdots,N\}} \|x( t_k)-x(t_{k-1})\|\leq 0.0001 \end{eqnarray}$ ja, das ist der maximale Fehler für alle Intervalle.
13.11.2014, 22:20	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Dopap! Danke für deine Antwort! Okay, das ist natürlich plausibel. Ich habe also Schritte mit 1/N und die gehe ich k-mal sozusagen. Logisch :-) Hast du vielleicht einen Ansatz für mich, wie ich die Aufgabe mit dem Fehler lösen kann? Da ich die Schrittweite nicht explizit kenne, kann ich die Werte des Zuges ja nicht ausrechnen. Oder einfach die allgemeinen Schritte, so wie du sie dargestellt hast, einsetzen? Meine Fragen sind bestimmt dumm, aber Ana ist echt nicht mein Fall.
13.11.2014, 23:26	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh... Die Ordinatendifferenz benachbarter Stützstellen sollte also im Betrag kleiner 0.0001 sein. Ich schreib mal um: x=y und t=x so ist es gewohnter zum Denken. mit $\begin{eqnarray} y'(x,y)=x-y^4 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \Delta y=\|y'(x,y)\|<\cdot \Delta x < 0.0001 \end{eqnarray}$ jetzt sollte man $\begin{eqnarray} \|y'(x,y)\|=\|x-y^4\| \end{eqnarray}$ mit 0<x<1 nach oben abschätzen (können). Es genügt aber auch eine Betragsschranke für y^4. Aber woher nehmen ? Klar: ein Plotten der Kurve zeigt dass der Graph innerhalb [0,1]^2 verläuft, aber das sind ja fremde Informationen.
14.11.2014, 00:38	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
mmh... Die Ordinatendifferenz benachbarter Stützstellen sollte also im Betrag kleiner 0.0001 sein. Ich schreib mal um: x=y und t=x so ist es gewohnter zum Denken. mit $\begin{eqnarray} y'(x,y)=x-y^4 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \Delta y=\|y'(x,y)\|\cdot \Delta x < 0.0001 \end{eqnarray}$ jetzt sollte man $\begin{eqnarray} \|y'(x,y)\|=\|x-y^4\| \end{eqnarray}$ mit 0<x<1 nach oben abschätzen (können). Es genügt aber auch eine Betragsschranke für y^4. Aber woher nehmen ? Klar: ein Plotten der Kurve zeigt, dass der Graph innerhalb [0,1]^2 verläuft, aber das sind ja fremde Informationen. edit:ein edit war nicht mehr möglich...
15.11.2014, 09:35	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie könnte diese Betragsschranke aussehen? Ich weiß ja, dass für x(t) bzw bei dir y gilt: $\begin{eqnarray} -1\leq y\leq 1 \end{eqnarray}$ . Hilft mir das weiter? Damit weiß ich ja, dass die Lösung innerhalb eines gewissen Quaders liegen, oder?
Anzeige

15.11.2014, 18:27	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
oha! richtig, das stand ja im ersten Beitrag. wenn du das weißt, dann kann man doch grob $\begin{eqnarray} \|x-y^4\|<1 \end{eqnarray}$ abschätzen und damit ist $\begin{eqnarray} 1\cdot \Delta x \leq 0.0001 \end{eqnarray}$
15.11.2014, 20:21	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Danke Dopap! Deine Beiträge sind wirklich hilfreich Ein letztes Anliegen hätte ich da noch: Ich wurde eben darauf aufmerksam gemacht, dass bei Beweis für die Intervalle nicht ganz rund ist. Ich sollte halt zuerst zeigen, dass das AWP eine eindeutige Lösung x(t) auf [0,1] hat und dort $\begin{eqnarray} -1\leq x(t)\leq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Ich wollte dann den Satz von Picard-Lindelöf anwenden. Allerdings hab ich dort sofort am Anfang das falsche Intervall genommen. Meine Idee ist nun zu sagen: $\begin{eqnarray} I=[t_0-\delta,t_0+\delta]=[0,1] \end{eqnarray}$ Aber da $\begin{eqnarray} t_0=0 \end{eqnarray}$ laut AWP kann ich ja kein Delta finden, welches diese Bedingung erfüllt. Danach müsste ich doch eigentlich Lipschitzstetigkeit bzgl. x zeigen, nicht wahr? Also irgendwie $\begin{eqnarray} \|-x_1^4+x_2^4\| \leq L\|x_1-x_2\| \end{eqnarray}$ . Hast du auch da wieder den Durchblick?
15.11.2014, 20:46	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie man bestimmt merkt, bin ich eher ein Mann der Praxis - womit ich manchmal beim Publikum besser ankomme , als reine Theoretiker - ( = Selbstlob ) Nun Lipschitz etc. ist leider schon ein gutes Weilchen her. Ich empfehle dir, das Problem ( AWP hat eindeutige Lösung ... ) in einem Thread neu zu stellen, und dann werden sich schon die ANA-cracks melden. Gruß Dopap
15.11.2014, 23:37	ApfelSaft	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr beiden, ich verstehe leider eure Fehlerabschätzung nicht ganz: Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \left \| x(t_k)-x_k \right \| \end{eqnarray}$ doch eigentlich so zu übersetzen, dass wir wissen wollen wie fein ich meine Partitionierung N wählen muss, so das der approximierte Wert $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ vom eigentlichen Wert der Lösung $\begin{eqnarray} x(t_k) \end{eqnarray}$ nicht mehr als $\begin{eqnarray} 0,0001 \end{eqnarray}$ abweicht, oder nicht? Das ist doch zunächst einmal verschieden von der Aussage $\begin{eqnarray} \left \| x(t_k)-x(t_{k-1})) \right \|<0,0001 \end{eqnarray}$ oder irre ich da? Ferner wird ist mir nicht klar wieso aus $\begin{eqnarray} x'=t-x^4 \end{eqnarray}$ ohne weiteres $\begin{eqnarray} \bigtriangleup x= \left \| x'(t,x) \right \| \bigtriangleup t \end{eqnarray}$ folgt. Liebe Grüße, Apfelsaft
17.11.2014, 03:14	ApfelSaft	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal Zusammen , ich versuche meine Frage noch etwas weiter zu präzisieren: Ich habe es so verstanden, dass ich die Lösung durch Linearisierung auf einer gegebenen Partitionierung aproxximiere (Ich werde die Aproximation im folgenen mit $\begin{eqnarray} \tilde{x} \end{eqnarray}$ bezeichnen). Je feiner desto mehr schmiegt sie Sich der expliziten Lösung mit der Notation $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ an. Um diese zu erhalten ermittel ich zunächst die aproximierten Werte an den durch die Partitionierung entstandnen Übergansstellen: $\begin{eqnarray} \tilde{x}_1:=\tilde{x}_0+(1/N) \cdot (t_1 - \tilde{x}_0^4) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \tilde{x}_{j-1}:=\tilde{x}_j+(1/N) \cdot (t_{j-1} - \tilde{x}_{j-1}^4) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} \tilde{x}_N:=\tilde{x}_{N-1}+(1/N) \cdot (t_{N-1} - \tilde{x}_{N-1}^4) \end{eqnarray}$ Anschließend verbinde ich diese linear, durch die gegebene Ableitung (die wir direkt aus der DGL selber erhalten) Somit bastel ich mir eine approximierte Lösung der eigentlichen Differentialgleichung in der Form: $\begin{eqnarray} <br /> \tilde{x}(t):=\begin{cases} & x_{j}+(t-t_{j}) \cdot (t-x_{j}^4) \text{ if } t\in (t_{j}, t_{j+1}] \\ <br /> & x(0) \text{ if } t=t_{0} <br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ wobei hier $\begin{eqnarray} j=1,..,N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_{j}=\frac{j}{N} \end{eqnarray}$ die gegebene Partitionierung von $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ darstellt. Nun habe ich die Frage der Fehlerabschätzung so verstanden, dass hier die Abweichung der aproximierten Lösungswerte von den eigentlichen echten Lösungswerten (dargestellt durch $\begin{eqnarray} x(t_{j}) \end{eqnarray}$ ) gefragt ist. In meiner Notation würde, dass lauten: $\begin{eqnarray} \left \| x(t_{j})-\tilde{x}_j \right \|\leq 10^{-4} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \tilde{x}_{j-1}=\tilde{x}_j+(1/N) \cdot (t_{j-1} - \tilde{x}_{j-1}^4) \end{eqnarray}$ Wobei ich durch meine Aproximation nun eine Kette von verschachtelten Anwendungen der DGL selbst erhalte. Was aber genau verbirgt sich hinter dem $\begin{eqnarray} \Delta y \end{eqnarray}$ von oben? ist es $\begin{eqnarray} \left \| x(t_{j})-\tilde{x}_j \right \| \end{eqnarray}$ ? Was genau ist gemeint wenn oben von $\begin{eqnarray} \forall j=1,..N: \left \| x(t_{j})-x(t_{j-1}) \right \|< 10^{-4} \end{eqnarray}$ gesprochen? Ist es die Differenz der Werte der aproximierten Lösung an den jeweiligen Stellen $\begin{eqnarray} t_j \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_{j-1} \end{eqnarray}$ Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir bei dem Verstehen der obigen Lösung helfen könntet . Vielen Vielen Dank im Vorraus, Euer ApfelSaft
17.11.2014, 08:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist doch etwas komplizierter wie ich dachte. es hieß doch: $\begin{eqnarray} \|x(t_k)- x_k)\| \end{eqnarray}$ , also die Differenz zwischen dem wahrem Funktionswert und der approximierte Lösung $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ , was der Fehler an der Stelle $\begin{eqnarray} t_k \end{eqnarray}$ ist. Mein Beitrag ist lediglich eine Abschätzung der maximalen Änderung der approximierten Lösung in einem Intervall.

Neue Frage »

Antworten »

Euler-Methode

Verwandte Themen