exp (1+(pi/2)i)

12.11.2014, 09:10

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

exp (1+(pi/2)i)

Meine Frage:
Guten Morgen!
Ich stehe komplett auf dem Schlauch :-/
Ich habe die folgende Zahl gegeben:
$\begin{eqnarray*} exp(1+\frac{\pi }{2}i)=e^{(1+\frac{\pi }{2}i)} \end{eqnarray*}$ und soll hiervon Real-und Imaginärteil bestimmen.

Meine Ideen:
An eigenen Ideen mangelt es leider ziemlich, da ich inzwischen mit 3 verschiedenen Büchern arbeite um das ganze irgendwie zu lösen, aber das Gefühl hab immer weniger zu verstehen :-/
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} e^{x}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ ist und dann bin ich mit meinem Latein auch schon ziemlich am Ende. unglücklich

unglücklich

12.11.2014, 09:20

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Moin!

Ist die Eulersche Darstellung komplexer Zahlen bekannt? $\begin{align*} z=r\cdot e^{i\varphi}=r\cdot (cos \varphi+i\sin \varphi) \end{align*}$

12.11.2014, 09:39

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Kommt mir bekannt vor.
r... Betrag
e... eul. Zahl
i= $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ... Argument

Stimmt das mal so weit?

12.11.2014, 09:44

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Schön!

Ist dieses Potenzgesetz bekannt? $\begin{align*} e^{a+b}=e ^a\cdot e^b \end{align*}$

Mit diesen beiden Regeln im Hinterkopf sehen wir uns den Ausdruck oben mal an: $\begin{align*} e^{1+i\cdot \frac{\pi}{2}}\cdots \end{align*}$

12.11.2014, 09:52

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Jetzt schon Augenzwinkern

Augenzwinkern

Okay, dann hab ich also:
$\begin{eqnarray*} <br /> e \cdot e^{\frac{\pi }{2}i} <br /> \end{eqnarray*}$

Hmmm... Moment, damit hab ich aber nur die zweite Regel angewandt

12.11.2014, 09:54

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
OK

$\begin{align*} e^{1+i\cdot \frac{\pi}{2}}=e^1\cdot e^{i\cdot \frac{\pi}{2}}=\cdots \end{align*}$

Konzentriere Dich jetzt auf den zweiten Faktor und schreibe ihn in der Eulerschen Form.

Anzeige

12.11.2014, 10:05

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Moment... Heiliger, kann ich da nicht das Argument mit $\begin{eqnarray*} \ frac {\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ablesen verwirrt

verwirrt

Also gilt dann:
$\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = \cos(\frac{\pi }{2} ) + \sin(\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

12.11.2014, 10:06

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
OK

$\begin{align*} z=e^1\cdot \left(\cos \frac{\pi}{2}+i\cdot \sin \frac{\pi}{2}\right) \end{align*}$

Und jetzt kommt der Winkel ins Spiel: Kennst Du den Winkel $\begin{align*} \frac{\pi}{2} \end{align*}$ ("Radiant")?
Wo liegt der, wieviel Grad sind das, was ist der Kosinus dieses Winkels, was der Sinus?

EDIT: Notfalls Taschenrechner, Winkeleinstellung "RAD".

12.11.2014, 10:17

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Naja, 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ =360° also müsste $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ /2 doch 90° sein, dh meine Zahl müsste auf der imaginären Achse liegen und damit ist der Realteil schonmal 0.... Oder bin ich jetzt ganz aufm falschen Dampfer?

12.11.2014, 10:17

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Naja, 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ =360° also müsste $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ /2 doch 90° sein, dh meine Zahl müsste auf der imaginären Achse liegen und damit ist der Realteil schonmal 0.... Oder bin ich jetzt ganz aufm falschen Dampfer?

12.11.2014, 10:18

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
So...

$\begin{align*} z=e^1\cdot (0+i)=i\cdot e \end{align*}$

Letzte Frage: Was ist der Realteil und was der Imaginarteil dieser Zahl, $\begin{align*} \Re(z)=\cdots, \Im(z)=\cdots \end{align*}$ ?

12.11.2014, 10:22

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Re z= 0
Im z = e

Stimmt das so?

12.11.2014, 10:23

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Freude

Freude

12.11.2014, 10:48

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Tanzen

Tanzen

Vielen vielen Dank! Gott

Gott

Und das kann ich in Zukunft immer so machen? Sprich, wenn ich zB hab:
$\begin{eqnarray*} e^{3+\frac{2}{10}\pi i} = e^{3} \cdot e^{\frac{1}{5}\pi i } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{5}\pi i } =\cos(\frac{1}{5}\pi ) + \sin(\frac{1}{5}\pi )i \end{eqnarray*}$
= 0,8090+0,5877i

$\begin{eqnarray*} e^{3} \end{eqnarray*}$ (0,8090+0,5877i)=16,249+11,8059i

Re z= 16,249 Im z= 11,8059
|z|=20,0850

Nochmals vielen vielen Dank! Big Laugh

Big Laugh

12.11.2014, 10:54

Hausmann

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)

Zitat:

Original von mhma
Und das kann ich in Zukunft immer so machen?

Wenn es die Struktur der Aufgabe erlaubt - ja.
Ansonsten denke ich, daß die Rechnerei heute auch so ihren Nutzen hatte.

Tschüß!

12.11.2014, 10:58

mhma

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: exp (1+(pi/2)I)
Großartig! Big Laugh

Big Laugh

Danke und Tschüß Big Laugh

Big Laugh

1

Verwandte Themen