Folgen: 1/konvergente Folge konvergiert - Verständnisprobleme des Beweises

12.11.2014, 14:28	Saiko-San	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen: 1/konvergente Folge konvergiert - Verständnisprobleme des Beweises Hallo, folgende Aufgabe haben wir aktuell: Es sei $\begin{eqnarray} \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge reeller Zahlen $\begin{eqnarray} b_{n} \neq 0 \end{eqnarray}$ mit dem Grenzwert $\begin{eqnarray} b \neq 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{b_{n}} \right)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{b} \end{eqnarray}$ konvergiert. In unserem Begleitbuch gibt es dazu folgenden Beweis: * Da $\begin{eqnarray} b \neq 0: \frac{\|b\|}{2} > 0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} n_{0} \in \mathbb N : \|b_{n} - b\| < \frac{\|b\|}{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq n_{0} \end{eqnarray}$ . ** Daraus folgt $\begin{eqnarray} \| b_{n} \| \geq \frac{\|b\| }{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \neq 0 \end{eqnarray}$ . Zu vorgegebenem e > 0 gibt es ein $\begin{eqnarray} N_{1} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} \| b_{n} -b \| < \frac{e\| b \|² }{2} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N_{1} \end{eqnarray}$ . *** Dann gilt für $\begin{eqnarray} n \geq N:=max\left(n_{0},N_{1} \right) \end{eqnarray}$ : **** $\begin{eqnarray} \| \frac{1}{b_{n} } -\frac{1}{b} \| = \frac{1}{\| b_{n} \| \| b \| } \| b - b_{n} \| < \frac{2}{\|b\|²} * \frac{e\|b\|²}{2} = e \end{eqnarray}$ . Meine Fragen dazu sind folgende: - In Zeile verstehe ich den Schritt nicht, dass der Abstand von b_n und b kleiner als \|b\|/2 sein soll. Warum gilt das? - Wie kommt man in Zeile darauf, im Bruch am Ende den Betrag von b zu quadrieren? - Wie funktioniert die Umformung beim "=" in Zeile ** ? - Wo kommt der erste Bruch nach dem Kleiner-Zeichen her?
12.11.2014, 14:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu : Das folgt direkt aus der Definition der Konvergenz, schließlich ist $\begin{eqnarray} \frac{\|b\|}{2} \end{eqnarray}$ auch nur irgendeine positve Zahl. Zu *: Das erste Gleichheitszeichen benutzt lediglich die Regeln der Bruchrechnung. Zwei Brüche werden subtrahiert... Die Abschätzung folgt dann aus $\begin{eqnarray} \|b_n\|\geq \frac{\|b\|}{2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|b_n-b\|<\frac{\varepsilon \|b\|^2}{2} \end{eqnarray}$ . Zu **: auf Anhieb kommt man da eher selten drauf. Der Weg um auf so etwas zu kommen ist meistens ein anderer, als man im fertigen Beweis sieht. Siehe z.B. in [WS] Folgen "Zur Wahl des $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ ". Das ist hier nichts anderes. Man fängt zunächst einmal an, die Ungleichung aus *** zu bearbeiten und macht sich dann Gedanken, wie man ans Ziel kommen kann.

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