Parameter a,b Dichtefunktion bestimmen

12.11.2014, 15:44

Mathelover

Parameter a,b Dichtefunktion bestimmen

Hey Leute,

habe einige Fragen zu dieser Aufgabe.

Für die Lebensdauer T eines Bauteils gilt folgende Dichtefunktion (t in h):

$\begin{eqnarray*} f_T(t)=\left\{\begin{matrix} \alpha e^{-t^2}+\beta (1-t)^2 &0\leq t\leq 1 \\ \alpha & sonst \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie die Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und skizzieren Sie $\begin{eqnarray*} f_T(t) \end{eqnarray*}$

Ich dachte jetzt, dass ich an dieser Stelle die Bedingung der Dichtefunktion verwenden kann, also folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\alpha e^{-t^2}+\beta (1-t)^2dt = 1 \end{eqnarray*}$

und eben

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\alpha dt = 1 \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich 2 Gleichung und 2 Unbekannte und könnte somit beide Unbekannte lösen.

Ist die Idee richtig?

12.11.2014, 15:47

HAL 9000

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Da steht wirklich $\begin{align*} e^{-t^2} \end{align*}$ und nicht etwa nur $\begin{align*} e^{-t} \end{align*}$ ? Einigermaßen fies. Augenzwinkern

EDIT: ...achso, Ok - ich hätte auch die zweite Definitionszeile lesen sollen. Big Laugh

12.11.2014, 15:49

Mathelover

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Ja leider steht da $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ ich hab schon hin und her substituiert und kann den Mist nicht integrieren...

Irgendwelche Alternativen?

12.11.2014, 15:49

HAL 9000

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Siehe EDIT.

12.11.2014, 15:52

Mathelover

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Was wären denn die Integrationsgrenzen von

$\begin{eqnarray*} \int \alpha dt = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Also was sollte ich denn erster integrieren, die obere funktion, oder die untere?

12.11.2014, 17:29

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} f_T(t)=\alpha \end{align*}$ für alle (!) reellen $\begin{align*} t \end{align*}$ außerhalb des Intervalls $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ . (*)

$\begin{align*} \alpha\geq 0 \end{align*}$ dürfte klar sein. Was folgt aus (*) für das Gesamtintegral $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_T(t) ~ \dd t \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} \alpha>0 \end{align*}$ wäre ? Augenzwinkern

13.11.2014, 12:07

Mathelover

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Also meine Idee war jetzt folgende:

Es muss ja folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=1 \end{eqnarray*}$

Beginnen wir dazu mit folgendem Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{0}\alpha dt=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \int_{-\infty}^{\infty}1dt=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha*[t]_{-\infty}^{0}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha*\infty=1 \alpha=\frac{1}{\infty} \alpha=0 \end{eqnarray*}$

Analog zum selben Integral mit den "restlichen" Grenzen $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{\infty} \end{eqnarray*}$ , erhalten wir für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ das selbe Ergebnis.
(wobei einige jetzt wahrscheinlich mir bzgl. der Formalia den Hals umdrehen wollen würden)

Also wissen wir, dass, $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

Bleibt noch zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\alpha e^{-4t^2}+\beta (1-t)^2 dt=1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ ist, bleibt nur folgendes Integral zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}\beta (1-t)^2 dt=1 \end{eqnarray*}$

.
.
.

es folgt: $\begin{eqnarray*} \beta = 3 \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Dichtefunktion definiert als:

$\begin{eqnarray*} f_T(t)=\left\{\begin{matrix} 3*(1-t)^2 & 0\leq t\leq 1\\ 0 & sonst \end{matrix}\right. \end{eqnarray*}$

Bitte sag mir, dass das so stimmt smile

13.11.2014, 12:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
(wobei einige jetzt wahrscheinlich mir bzgl. der Formalia den Hals umdrehen wollen würden)

So ist es. Big Laugh

Aber trotz mathematisch wackliger Rechnung und Begründung ist die Folgerung $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ am Ende richtig.

Seriös ginge es z.B. so: Im Fall $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} 1 = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt \geq \int_{-\infty}^{0} f(t) dt = \int_{-\infty}^{0}\alpha dt = \infty \end{eqnarray*}$ ,

Widerspruch. Also muss $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ gelten.

13.11.2014, 12:22

Mathelover

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Du sagst also, wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann musst das Integral über $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ existieren, tut es aber offentsichtlich nicht. Also Widerspruch?

13.11.2014, 12:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Du sagst also, wenn wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann musst das Integral über $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ existieren

NEIN, bitte LESEN: Ich sage, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha>0 \end{eqnarray*}$ ist, dann muss folgende Abschätzungszeile gelten, und deren Resultat $\begin{eqnarray*} 1\geq \infty \end{eqnarray*}$ führt ja zum Widerspruch. Forum Kloppe

Ich werde richtig böse

, wenn meine Aussagen dermaßen entstellt werden, dass praktisch das genaue Gegenteil von dem da steht, was ich gemeint habe.

13.11.2014, 12:29

Mathelover

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Ahhh jetzt habe ich verstanden was du meinst, sorry unglücklich

Danke für deine Hilfe Freude

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