Beweis an Vektoren

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12.11.2014, 18:32	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis an Vektoren Meine Frage: Hallo, ich sitze grade an einem Beweis bei dem ich nicht wirklich weiterkomme... Ich soll beweisen, dass wenn Vektoren $\begin{eqnarray} i_{1} bis i_{k} \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ linear abhängig sind für einen beliebiegen Vektor $\begin{eqnarray} j \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ die Vektoren $\begin{eqnarray} i_{1} bis i_{k}, \vec{j} \end{eqnarray}$ ebenfalls linear abhängig sind Meine Ideen: Leider habe ich schon Probleme den Ansatz zu finden...
12.11.2014, 18:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis an Vektoren Was bedeutet denn lineare Abhängigkeit? Wie ist diese definiert?
12.11.2014, 18:56	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis an Vektoren Wenn $\begin{eqnarray} \mathfrak{i}_1, \dots ,\mathfrak{i}_k \end{eqnarray}$ linear abhängig sind, bedeutet das: Es gibt eine Darstellung $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots + \lambda_k \mathfrak{i}_k = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ bei der nicht alle $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ gleich 0 sind. Du musst doch jetzt nur eine Darstellung $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots + \lambda_k \mathfrak{i}_k + \lambda_{k+1} \mathfrak{j}= \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ finden, bei der ebenfalls nicht alle $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ null sind.
12.11.2014, 19:17	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verstehe ich nicht so recht wie ich jetzt vorzugehen habe... Die Definition von lienearer Abhängigkeit ist mir soweit klar.
12.11.2014, 19:36	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du in der Linearkombination $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots + \lambda_k \mathfrak{i}_k + \lambda_{k+1} \mathfrak{j} = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda_1, \dots ,\lambda_k \end{eqnarray}$ die gleichen Werte benutzt wie bei $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots + \lambda_k \mathfrak{i}_k = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ Wie kannst du die erste Linearkombination dann vereinfachen?
12.11.2014, 19:45	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm vielleicht so? $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \lambda _{k} i_{k} + \lambda _{k+1}j \end{eqnarray}$
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12.11.2014, 19:51	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine Vereinfachung, bestenfalls eine andere Schreibweise. Was ergibt denn die Summe der ersten k Summanden in der Linearkombination $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots + \lambda_k \mathfrak{i}_k + \lambda_{k+1} \mathfrak{j} = \mathfrak{o}<br /> \end{eqnarray}$ wenn du die Tatsache benutzt, dass die $\begin{eqnarray} \mathfrak{i}_1, \dots ,\mathfrak{i}_k \end{eqnarray}$ linear abhängig sind? Es steht doch schon da !!
12.11.2014, 20:01	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin ehrlich gesagt grade etwas verwirrt... Kann ich jetzt sagen, dass die ersten i bis k Summanden ungleich null sind (Voraussetzung für lineare Abhängigkeit) und somit auch bei der Addition der letzten Komponente die Summe ungleich null ist?
12.11.2014, 20:13	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Linearkombination $\begin{eqnarray} \lambda_1 \mathfrak{i}_1 + \lambda_2 \mathfrak{i}_2 + \dots +\lambda_k \mathfrak{i}_k + \lambda_{k+1} \mathfrak{j} = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ vereinfacht sich zu $\begin{eqnarray} \mathfrak{o} + \lambda_{k+1} \mathfrak{j} = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ Da du eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} \mathfrak{i}_1, \dots , \mathfrak{i}_k \end{eqnarray}$ kennst, die den Nullvektor ergibt. Alles was du jetzt noch tun musst, ist ein $\begin{eqnarray} \lambda_{k+1} \end{eqnarray}$ zu finden, so dass für jeden Vektor $\begin{eqnarray} \mathfrak{j} \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lambda_{k+1} \mathfrak{j} = \mathfrak{o}<br /> \end{eqnarray}$ gilt. Fällt dir da eins ein?
12.11.2014, 20:41	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohje! Jetzt wo ichs sehe wirds schon klarer! Dürfte man denn jetzt sagen, dass $\begin{eqnarray} \lambda _{k+1} = 0 \end{eqnarray}$ ist?
12.11.2014, 20:47	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau. Was du allerdings jetzt für dich noch klären musst, ist die Frage ob $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \mathfrak{i}_1 + \dots +\lambda_{k} \mathfrak{i}_k +0 \cdot \mathfrak{j} = \mathfrak{o} \end{eqnarray}$ auch wirklich eine nichttriviale Linearkombination ist. Das sollte in dem Beweis zumindest begründet werden.
12.11.2014, 20:52	Ahnungslos 2	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja super habs verstanden! Vielen Dank

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