Kettenregel

12.11.2014, 20:35

yaren_mgt

Kettenregel

Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen jedweder Art, nicht im Titel oder sonstwo, das nervt nur. Geholfen wird hier ja ohnehin immer. Titel geändert.

Meine Frage:
Hallo smile

dies wäre meine 3.frage und es geht um kettenregel. wir haben damit so in den letzten 10 min angefangen.. wir wollen damit morgen weitermachen..aber wenn ich jetzt schon ein problem damit habe,komme ich morgen nicht weiter. das was wir in der schule geschrieben haben,hänge ich am Anhang..
meine frage: was ist das und wozu soll mir das dienen? wieos ist die Ableitung von v(x)=2x+1 -> v'(x)=2?
und was hat man dann,wenn man u°v macht bzw die Gleichung von v in das x von der ersten Ableitung der Gleichung u' ? danach macht man mal 2 und am ende hat man 2e^2x+1 raus. (+1 steht auch oben also neben 2x) wie eürd man dann weiter rechnen? bin für jede Antwort dankbar!! smile

Meine Ideen:
[attach]36060[/attach]

[attach]36061[/attach]

lg

12.11.2014, 21:00

Mathema

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RE: kettenregel -hilfe

Zitat:

Original von yaren_mgt
wieos ist die Ableitung von v(x)=2x+1 -> v'(x)=2?

Ist die Frage ernst gemeint? Ihr könnt doch unmöglich schon bei der e-Funktion sein, wenn du so ein einfaches Polynom wie $\begin{eqnarray*} 2x+1 \end{eqnarray*}$ nicht ableiten kannst. Damit beginnt man doch, bevor Produkt-, Quotienten- und Kettenregel kommen.

12.11.2014, 21:05

mYthos

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Die Bilder sagen eigentlich schon alles, da braucht man nicht mehr viele Worte.
Die Kettenregel kommt immer bei verknüpften Funktionen zum Einsatz, d.h. wenn es sich um eine Funktion handelt, deren Argument wiederum eine Funktion ist.
Salopp gesprochen, wenn bei f(x) anstatt dem x eine weitere Funktion g(x) steht.

Beispiele:

1.

$\begin{eqnarray*} f(x) = (5x^2 + 9)^6 \ \to \ f'(x) = 6 \cdot (5x^2 + 9)^5 \ \cdot \ 10x = 60x \cdot (5x^2 + 9)^5 \end{eqnarray*}$

Die erste (äußere) Funktion hat die Form wie $\begin{eqnarray*} x^6 \end{eqnarray*}$ , ist also eine Potenzfunktion, die innere ist ein Polynom. Es steht also ein Funktionsterm da analog wie

$\begin{eqnarray*} g o f = f(g(x)) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (5x^2+9)^6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = 5x^2 + 2 \end{eqnarray*}$

Man leitet also die äußere Funktion nach der Potenzregel ab (äußere Ableitung $\begin{eqnarray*} 6 \cdot g(x)^5 \end{eqnarray*}$ ) und multipliziert dann noch mit der "inneren Ableitung", d.i. die Ableitung des Terms in der Klammer (innere Ableitung $\begin{eqnarray*} g'(x) = 10x \end{eqnarray*}$ ).

Edit: Schreibfehler korrigiert.
________________________________________

2.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2x} \ \to \ f'(x) = 2e^{2x} \end{eqnarray*}$
____________________________________________

3.

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sin (x^2) \ \to \ f'(x) = 2x \cos (x^2) \end{eqnarray*}$

usw.

mY+

12.11.2014, 21:11

yaren_mgt

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RE: kettenregel -hilfe
@Mathema : ja ich meins ernst. ist die Ableitung nicht 2x? nur die 1 fällt doch weg.. btw stehe in Mathe 1-2. was ist so schlimm daran,wenn ich das frage? kann ich auch nicht ein fehler machen?

12.11.2014, 21:15

mYthos

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$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot x \ \to \ f'(x) = a \end{eqnarray*}$

Ein konstanter Faktor bleibt erhalten und die Ableitung von x ist 1.

12.11.2014, 21:21

Mathema

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RE: kettenregel -hilfe
Nicht persönlich nehmen, die Frage war vll etwas überspitzt formuliert. Ich wollte dich damit in keinster Weise angreifen und dir irgendwelche Fähigkeiten absprechen. Wenn du das so verstanden hast, entschuldige bitte. Ich wollte nur meiner Verwunderung zum Ausdruck bringen.

$\begin{eqnarray*} 2x+1 = 2x^1+1 \end{eqnarray*}$

Der Exponent verringert sich doch um 1. Also:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 2 \cdot x^0 = 2 \cdot 1 = 2 \end{eqnarray*}$

edit: @mythos: Bei deinem Beispiel 1 hast du dich wohl in der Klammer verschrieben.

12.11.2014, 21:32

mYthos

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Danke, hab's auch schon berichtigt Augenzwinkern

12.11.2014, 21:38

yaren_mgt

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@Mathema: ja ok smile

& @mYthos danke für die Hilfe! kann es auch nachvollziehen smile

12.11.2014, 21:45

Bjoern1982

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Vielleicht auch noch ein anderer Gedankengang, um sich klar zu machen, warum sowas wie v(x)=2x+1 als Ableitung v'(x)=2 besitzt:
Im Allgemeinen gibt f '(x) ja die Steigung des Graphen der Funktion f an einer beliebigen Stelle x an.
Wenn wir in einer Funktion dann mal einen Term der Form mx+b haben (linearer Term), dann kann man sich ja mal daran erinnern, was denn eben genau die Steigung der Geraden zu y=mx+b angibt. Das ist ja gerade der Faktor vor dem x, also m.
Wenn man dann z.B. sowas wie f(x)=5x^4-12x³+0,1x²-1,5x+3 vor sich hat, dann kann man auf jeden Fall schon mal sagen, dass der hintere, lineare Teil -1,5x+3 abgeleitet -1,5 sein muss.

Das nur noch mal als Ergänzung und damit bin ich auch schon wieder raus. Wink

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