Cauchy-Konvergenzkriterium Reihen Skript-Definition

13.11.2014, 00:23

willyk311

Cauchy-Konvergenzkriterium Reihen Skript-Definition

Habe hier im Skript eine Definition zum Cauchy-Konvergenzkriterium, die etwas von der bei wikipedia und diversen anderen Seiten abweicht. Müsste wissen, was genau der Prof meint, wegen einer mündlichen Prüfung.

Die Definition ist wie folgt:

Zitat:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} | \sum\limits_{k=m}^n a_k | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq m\geq n_0 \end{eqnarray*}$ .
Es gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} s_n - s_m = \sum\limits_{k=m}^n a_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_m \end{eqnarray*}$ sind die n-te und m-te Teilsumme.

Meine Überlegungen dazu wären:
Falls $\begin{eqnarray*} n = m \end{eqnarray*}$ , dann müsste ja gelten:
$\begin{eqnarray*} s_n - s_m = 0 = \sum\limits_{k=m}^n a_k = a_n \end{eqnarray*}$
Wir wissen ja, dass $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein muss, aber es müssen ja nicht direkt Glieder Null sein oder?

Und falls dann $\begin{eqnarray*} n > m \end{eqnarray*}$ gilt, sollte man doch besser $\begin{eqnarray*} s_n - s_m = \sum\limits_{k=m+1}^n a_k \end{eqnarray*}$ schreiben oder nicht?

Keine Ahnung wie ich dem das anhand dieser Definition in der mündlichen erklären sollen. Mir ist aber klar, dass ab einem Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ die Summe für $\begin{eqnarray*} n -> \infty \end{eqnarray*}$ immer kleiner $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

13.11.2014, 16:02

Namenloser324

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Deine Überlegung ist falsch, denn für n = m ergibt sich natürlich:

$\begin{eqnarray*} s_n - s_m = (a_0 + a_1 + ... + a_n) - (a_0 + a_1 + ... + a_m) = \sum_k={m+1}^n a_k = 0, da n = m \end{eqnarray*}$ und die letzte Summe per Definition immer Null ist. Natürlich muss a_n nicht immer Null sein.

Es ist unklar was du nun möchtest. Die Definition ist an sich klar. Wenn der "Rest" der Reihe beliebig klein wird, muss der Teil davor gegen irgendeinen festen Wert konvergieren. Was anderes sagt die Definition nicht aus.

Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\sum_{k=0}^{n} a_n = a} \iff \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n > n_0: |\sum_{k=0}^{n} a_k - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$

also gilt entsprechendes für jedes m >= n.
Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} |(\sum_{k=0}^{m} a_k - a) + ( -\sum_{k=0}^{n} a_k + a)| = |\sum_{k=0}^{m} a_k - \sum_{k=0}^{n} a_k| \end{eqnarray*}$
und für dessen Betrag gilt dann, dass er kleiner 2 * epsilon ist, also im Falle der Konvergenz beliebig klein wird.

In der von dir zitierten Definition ist in der Tat der Startindex m in der Summendifferenz falsch. Das muss m + 1 lauten.

13.11.2014, 19:03

willyk311

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Zitat:

die letzte Summe per Definition immer Null ist. Natürlich muss a_n nicht immer Null sein.

Hmm, eine Nullfolge, ist doch eine Folge die gegen den Grenzwert 0 konvergiert, d.h. sich der 0 beliebig nah kommt. Dabei muss doch "kein" Glied zwangsweise den Wert 0 erreichen, was deiner Aussage widersprechen würde, dass die letzte Summe per Definition immer Null ist? Oder sagt man das einfach so bei der Bestimmung der Konvergenz von Reihen?

Auch zieht sich der Startindex m statt m+1 in der Summendifferenz durch das ganze Skript, gewollt oder doch nur ein sehr schlechter Fehler?!

Naja, was ich bei der ersten Überlegung meinte ist eigentlich, ob die Schreibweise bei $\begin{eqnarray*} n = m \end{eqnarray*}$ überhaupt erlaubt ist. Gemeint ist das hier: $\begin{eqnarray*} s_n - s_m = \sum\limits_{k=m}^n a_k \end{eqnarray*}$ Du hast ja gesagt dass die leere Summe dabei rauskommt, also 0. Stimme ich dir zu, bloß hab ich das gegebene weitergeführt in der Annahme, dass es richtig sei.

Haha, ich wollte dich erst fragen, was du mit $\begin{eqnarray*} m+1^n a_k = 0 \end{eqnarray*}$ meinst, doch scheinbar meintest du (wenn ich deinen Latexcode betrachte) das hier: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=m+1}^n a_k \end{eqnarray*}$

Werde dem Prof dann nächste Woche mal fragen, ob nicht m+1 als Startindex gemeint war.

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