Lösen einer Ungleichung

13.11.2014, 14:30

HeroicEraser

Lösen einer Ungleichung

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe folgendes Problem beim Lösen meiner Ungleichung und hoffe dass mir hier bitte jemand helfen kann!:

Man untersuche, für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Ungleichung
erfüllt ist. $\begin{eqnarray*} x-4 > \frac{-4}{x} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis müsste x > 2 $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ 0<x<2 sein.

Ich komm jedoch nur auf folgendes:

Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} D{x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ 0 }

Fall 1: $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-4x>-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-4x+4>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 > \frac {4\pm \sqrt{16-4 \cdot 4\cdot 1}} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L = (2;\infty ) \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²-4x<-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x²-4x+4<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x1,2 < \frac {4\pm \sqrt{16-4\cdot 4\cdot 1}} {2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L= (-\infty; 0) \end{eqnarray*}$

13.11.2014, 14:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem bei meiner Ungleichung!

Zitat:

Original von HeroicEraser
Fall 2: x < 0

x²-4x<-4
x²-4x+4<0

Bis hierhin richtig. Links steht nun ein vollständiges Binom, also

$\begin{align*} (x-2)^2 < 0 \end{align*}$ .

Das ist offensichtlich NIE erfüllbar, also $\begin{align*} L=\emptyset \end{align*}$ .

Ich hab leider schon häufiger hier im Board festgestellt, dass der Schluß von den Lösungen einer quadratischen Gleichung zu den Lösungen der eigentlich zu lösenden quadratischen Ungleichung in blanke Raterei ausartet, statt ruhig und gründlich das Vorzeichenverhalten der vorliegenden quadratischen Funktion zu analysieren. unglücklich

13.11.2014, 14:51

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ist hier leicht zu sehen.

Wie lautet jetzt die gesamte Lösungsmenge ?

13.11.2014, 15:00

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Sinnvollerweise bringt man hier alles nach links, und dort dann alles auf einen Bruchstrich - und das VOR jeglicher Fallunterscheidung:

$\begin{align*} x-4+\frac{4}{x} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{x^2-4x+4}{x} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{(x-2)^2}{x} > 0 \end{align*}$

Aus dieser Darstellung kann man dann praktisch direkt die Lösungsmenge ablesen, ohne sich noch mit Fallunterscheidungen plagen zu müssen.

13.11.2014, 15:40

HeroicEraser

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe,

aber ich steh scheinbar total auf der Leitung! unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)²}{x}>0 \end{eqnarray*}$

Meine erste Lösung ist

$\begin{eqnarray*} x²-4x+4 > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x > 2 \end{eqnarray*}$

Meine zweite Lösung ist

$\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$

oder wie soll ich das verstehen wenn ich nun gar keine Fallunterscheidung brauche?

13.11.2014, 16:01

druuk

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einem Bruch reicht es, den Zähler zu betrachten. Solange x nicht Null ist, kannst du den Nenner vergessen.

13.11.2014, 16:19

HeroicEraser

Auf diesen Beitrag antworten »

demnach wäre meine Antwort :
x > 2

durch ausprobieren erkenne ich jedoch dass auch 0<x<2 eine Lösung sein könnte..

meine Antwort ist also noch unvollständig....
ich übersehe hier noch immer etwas essentielles ... unglücklich

13.11.2014, 16:22

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HeroicEraser

oder wie soll ich das verstehen wenn ich nun gar keine Fallunterscheidung brauche?

na ja, das gilt für das geübte Auge Augenzwinkern

1.) $\begin{eqnarray*} x>0 \Rightarrow (x-2)^2 >0 \Rightarrow \L_1=\{x|x\neq 2 \land x>0\} \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} x<0 \Rightarrow (x-2)^2 <0 \Rightarrow \L_2= \cdots \end{eqnarray*}$

13.11.2014, 16:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist so zu verstehen:

Der Quotient links wird (wie in der Ungleichung gefordert) nur dann positiv, wenn sowohl Zähler und Nenner positiv oder sowohl Zähler und Nenner negativ werden. Letzteres ist für das Quadrat im Zähler unmöglich, also bleibt nur die erste Variante:

Zähler positiv: $\begin{align*} (x-2)^2>0 \end{align*}$ heißt $\begin{align*} x\neq 2 \end{align*}$

Nenner positiv: $\begin{align*} x>0 \end{align*}$

Beides muss gelten, damit umfasst die Lösungsmenge alle $\begin{align*} x>0 \end{align*}$ mit $\begin{align*} x\neq 2 \end{align*}$ , oder als Lösungsmenge formuliert $\begin{align*} L=(0,2)\cup (2,\infty) \end{align*}$ .

13.11.2014, 16:38

HeroicEraser

Auf diesen Beitrag antworten »

Großes Dankeschön!! Gott

Ich denke ich blick endlich durch smile

Neue Frage »

Antworten »

Lösen einer Ungleichung

Verwandte Themen