Betragsungleichung mit zwei Variablen

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13.11.2014, 15:07	Christini	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsungleichung mit zwei Variablen Meine Frage: Hallo ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} <br /> \| x+y \|+\| x-y \| \geq \| x \|+\| y \| \textnormal{für x,y} \in \mathbb R <br /> \end{eqnarray}$ Kann mir jemand dabei helfen einen richtigen lösungsweg zu erarbeiten? Gibt es für solche Ungleichungen ein Lösungsschema? Meine Ideen: Meine lösungsidee ist es erstmal die Beträge üder die Definition weg zu bekommen. D.h. ich hätte dan insgesamt 16 verschiedene Fälle die Gleichung zu lösen, was sich irgendwie nicht Richtig anfühlt. Mein 1. Fall wäre: $\begin{eqnarray} <br /> \textnormal{x+y}\geq \textnormal{0;x-y} \geq \textnormal{0;x}\geq \textnormal{0,y}\geq \textnormal{0}<br /> <br /> \end{eqnarray}$ x+y+x-y $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ x+y $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \textnormal{x}\geq \textnormal{y}<br /> \end{eqnarray}$
13.11.2014, 15:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Die Ungleichung ist invariant bei der Substitution von $\begin{align} x \end{align}$ durch $\begin{align} -x \end{align}$ ebenso wie bei der Substitution von $\begin{align} y \end{align}$ durch $\begin{align} -y \end{align}$ . Die beschriebene Punktmenge ist also sowohl symmetrisch zur $\begin{align} y \end{align}$ -Achse wie auch zur $\begin{align} x \end{align}$ -Achse. Damit genügt es, sie im I. Quadranten zu untersuchen. Man darf daher $\begin{align} x \geq 0 \end{align}$ und $\begin{align} y \geq 0 \end{align}$ annehmen. 2. Auch bei Vertauschen von $\begin{align} x \end{align}$ und $\begin{align} y \end{align}$ geht die Ungleichung in sich über. Die Punktmenge ist somit symmetrisch zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. Man darf daher zusätzlich $\begin{align} y \leq x \end{align}$ annehmen. Somit genügt es, die Punktmenge im Winkelfeld zu untersuchen, das von der positiven $\begin{align} x \end{align}$ -Achse und der Winkelhalbierenden des I. Quadranten gebildet wird. Von den Beträgen bleibt jetzt nicht mehr viel übrig. Anschließend kann man die Menge durch die genannten Symmetrien auf die ganze euklidische Ebene fortsetzen.
13.11.2014, 16:17	Christini	Auf diesen Beitrag antworten »
OK Also so ganz habe ich das jetzt noch nicht verstanden. Heißt das wenn ich $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x\geq y ,<br /> x\geq 0 <br /> \textnormal{ und }<br /> y\geq 0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ annehmen darf. Bleibt von meiner ungleichung nur noch $\begin{eqnarray} <br /> x+y+\|x-y\|\geq x+y <br /> \Rightarrow <br /> \|x-y\|\geq 0<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also folgt: x=y
13.11.2014, 16:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das folgt nicht. Den letzten Betrag könntest du auch noch weglassen. Wir haben ja $\begin{align} x \geq y \end{align}$ angenommen. Du brauchst es aber nicht, man sieht es auch so. Es folgt nämlich viel viel mehr ... (zeichnerisch) Übrigens solltest du, was ich in meinem letzten Beitrag unter 1. und 2. geschrieben habe, tatsächlich nachvollziehen. Rechne nach, daß es stimmt. Verwende Eigenschaften des Betrags.
13.11.2014, 16:52	Christini	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ok also folgt einfach nur $\begin{eqnarray} <br /> <br /> x\geq y <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Deine Aussagen aus 1. und 2. kann ich schon irgendwie nachvollziehen. Genau ich würde es gerne nachrechnen nur wie genau mach ich das? Ich habe bis jetzt nur Betragsungleichungen gesehen in der nur eine Unbekannte drin vorkam. Solche habe ich dann immer mit der Definnition der Beträgre gelöst. D.h. Fallunterscheidung... kann ich dieses Schema nicht auch hier anwenden? oder irgendein anderes?
13.11.2014, 17:00	Gurki	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Betragsungleichung mit zwei Variablen Eigentlich ist die Sache hier so einfach, dass es weder einer Fallunterscheidungen noch einer besonderen Veranschaulichung bedarf - obwohl die grundsätzlich natürlich nie schadet. Die Behauptung folgt doch - fast direkt - aus der Dreiecksungleichung.
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13.11.2014, 20:03	Christini	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja genau Dreiecksunbgleichung... Aber irgendwie schaffe ich es immer noch nicht das zu zeigen ich weiß das folgendes gilt: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \| x+y \|+\| x-y \|\leq \| x \| +\| y \| +\| x+y \| \leq \| x \|+<br /> \| y \| +\| x \| +\| y \|<br /> <br /> \end{eqnarray}$
13.11.2014, 20:09	Gurki	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, eher so: Aus der Dreiecksungleichung folgt doch einerseits: $\begin{eqnarray} \|x+y\| + \|x-y\| \geq \| x+y +(x-y)\|=2\|x\| \end{eqnarray}$ und andererseits $\begin{eqnarray} \|x+y\| +\|x-y\| =\|x+y\| +\|y-x\|\geq \|x+y+(y-x)\|=2\|y\|. \end{eqnarray}$ Und daraus solltest Du nun deine Schlüsse ziehen...
13.11.2014, 20:41	Christini	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok Ich glaube jetzt habe ich es: Zu Zeigen ist ja: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \| x+y \|+\| x-y \| \geq \| x \| +\| y \|<br /> <br /> \end{eqnarray}$ D.h. man kann auch zeigen das gilt: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 2\| x+y \|+2\| x-y \| \geq 2\| x \| +2\| y \|<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 2\| x+y \|+2\| x-y \| = \| x+y \|+\| x-y \|+\| x+y \|+\| x-y \|= \| x+y \|+\| x-y \|\\+\| x+y \|+\| y-x \| \geq \| x+y+x-y \|+\| x+y+y-x \|=\| x+x \|+\| y+y \|=2\| x \|+2\| y \|<br /> <br /> \end{eqnarray}$ So kann ich das machen oder?
13.11.2014, 21:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mein Beweis. Weil bei Änderung der Vorzeichen und dem Vertauschen von $\begin{align} x,y \end{align}$ die Ungleichung in sich selber übergeht, genügt es, den Fall $\begin{align} x \geq 0 \, , \ y \geq 0 \, , \ y \leq x \end{align}$ zu behandeln. In diesem Fall sind alle Beträge überflüssig, womit folgt: $\begin{align} x+y+x-y \geq x+y \ \ \Leftrightarrow \ \ y \leq x \end{align}$ Das Letzte ist aber gerade das, was wir in unserem Spezialfall vorausgesetzt haben. Folgerung: Die Ungleichung gilt für alle $\begin{align} (x,y) \end{align}$ des Winkelfeldes. Wegen der Symmetrien gilt sie also für alle $\begin{align} (x,y) \end{align}$ der Ebene.

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