Untervektorraum einer Matrix

13.11.2014, 15:56	Muecke2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum einer Matrix Meine Frage: Hallo erstmal, Und zwar handelt es sich um eine Aufgabe, in der es relativ simpel - möchte man meinen - darum geht, zu sagen, ob es sich bei folgender Menge um einen Untervektorraum des angegebenen Vektorraums handelt, oder eben nicht. {A "Element" Mat(m X n;K) : A ist in Zeilenstufenform} "echte Teilmenge" Mat(m X n;R) Die "Wort" sind eigentlich die mathematischen Zeichen, aber weiß nicht, wie ich die am Rechner dar stellen kann. Meine Ideen: Prinzipiell ist mir klar, wie man zeigt, dass etwas ein Untervektorraum ist!!! Galt es auf dem Aufgabenblatt sechs Aufgaben zu lösen und das hier ist die letzte. Hier fehlt mir jedoch jeglicher Ansatz! Hab keinerlei Idee, wie ich zeigen soll, dass der Nullvektor enthalten ist, bzw Unterraum ungleich der leeren Menge ist, geschweige denn, wie ich hier zeigen soll, dass der Unterraum abgeschlossen bezüglich der Addition und der Multiplikation ist. Wäre für Tipps und Ansätze sehr Dankbar!
13.11.2014, 16:22	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Darstellen der Symbole kannst du den Formeleditor benutzen. $\begin{eqnarray} \{A\in \operatorname{Mat}(m\times n, \textcolor{red}{\mathbb{K}})\ \|\ A\text{ ist in Zeilenstufenform}\}\subset \operatorname{Mat}(m\times n, \textcolor{red}{\mathbb{R}}) \end{eqnarray}$ Soll da beides mal $\begin{eqnarray} \mathbb{K} \end{eqnarray}$ stehen (also ein beliebiger Körper) oder beides mal $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ oder etwas ganz anderes? Über zwei unterschiedlichen Körpern macht das jedenfalls keinen Sinn. Was vermutest du denn, was in diesem Vektorraum der Nullvektor ist? Zur Abgeschlossenheit: Du nimmst dir zwei $\begin{eqnarray} m\times n \end{eqnarray}$ aus der Menge und prüfst, ob deren Summe wieder eine Matrix in Zeilenstufenform ist. Dann nimmst du eine Matrix aus der Menge und multiplizierst sie mit einem Skalar. Ist das Ergebnis dann in Zeilenstufenform?
13.11.2014, 17:32	Muecke2012a	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach jo, ist ein Tippfehler auf dem Aufgabenblatt! Habe ich bei der Druckversion noch nicht korrigiert und vorhin einfach vom da kopiert! Soll beides R sein. Naja, erstmal zur Abgeschlossenheit: Addiere ich zwei mXn Matrizen, so mach ich das Komponentenweise - also würde die Matrix in Zeilenstufenform bleiben! Ähnliches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar, da einfach jede Komponente der Matrix damit multipliziert wird! Für den Nullvektor würde mir jetzt nur eine Matrix mit sämtlichen Einträgen = 0 einfallen und dann wäre die nicht mehr in der ZSF und somit wäre es auch kein Untervektorraum... Aber ob das so stimmt.... Danke auf jeden Fall schonmal.für die Antwort
13.11.2014, 18:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum ist die Nullmatrix nicht in Zeilenstufenform?
13.11.2014, 20:54	Muecke2012	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil eine Matrix in Zeilenstufenform ja mindestens Pivot-Stellen brauch um in Zeilenstufenform zu sein oder nicht? Also zumindest eben die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ haben muss.... und eine Matrix mit nur Nullen hätte diese ja nicht, wenn ich mich nicht irre...
13.11.2014, 22:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was ist mit $\begin{eqnarray} a_1=a_2=...=c_3=0 \end{eqnarray}$ ? Hier ist beschrieben, was ich unter einer Matrix in Zeilenstufenform verstehe. Du meinst vielleicht die normierte Zeilenstufenform (die auch in dem Link beschrieben ist), aber das ist ja hier nicht gefordert. Die Nullmatrix erfüllt jedenfalls meiner Meinung nach alle Eigenschaften einer Zeilenstufenform.
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