Vollständige Induktion Produktzeichen

13.11.2014, 17:14

Dominik_K

Vollständige Induktion Produktzeichen

Meine Frage:
Hi,

ich habe ein Problem mit der vollständigen Induktion mit einem Produktzeichen. Es soll folgender Sachverhalt mittels vollständiger Induktion bewiesen werden.
$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+ \frac{1}{n+i} \right) = 2- \frac{1}{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$
Der Induktionsanfang ist mir soweit klar. Allerdings bekomme ich den Induktionsschritt, also A(n) -> A(n+1) nicht auf die Reihe.

Meine Ideen:
Ich komme dabei zu dem Schluss:
Ind. Vor.: $\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+ \frac{1}{n+i} \right) = 2- \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ind. Beh.: $\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=1}^{n+1}\left(1+ \frac{1}{n+1+i} \right) = 2- \frac{1}{n+1+1} \end{eqnarray*}$

Beweis:
$\begin{eqnarray*} \prod \limits_{i=1}^{n+1}\left(1+ \frac{1}{n+1+i} \right) = \left(\prod \limits_{i=1}^{n}\left(1+ \frac{1}{n+i}\right) \right) \cdot \left(1+\frac{1}{2n+2} \right) \end{eqnarray*}$

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \prod \limits_{i=1}^{n+1}\left(1+ \frac{1}{n+1+i} \right) = \left(2-\frac{1}{n+1} \right) \cdot \left(1+\frac{1}{2n+2} \right) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir im klaren, dass dies nicht stimmt. Ich verstehe allerdings nicht warum. Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte. Bitte erstmal nicht weiter helfen, außer das geschilderte Problem, denn weitermachen würde ich gerne selbst =D

Beste Grüße
Dominik

Edit opi: Latexklammer ergänzt.

13.11.2014, 18:10

HAL 9000

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Wenn man es überhaupt mit Induktion machen will, dann ist als erstes im Induktionsschritt eine Indexverschiebung nötig, um die Induktionsvoraussetzung richtig anwenden zu können:

$\begin{align*} \prod_{i=1}^{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1+i} \right) = \prod_{i=2}^{n+2} \left(1 + \frac{1}{n+i} \right) = \ldots \end{align*}$

Jetzt kannst du dir überlegen, wie man die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringt.

14.11.2014, 13:18

Dominik_K

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn man es überhaupt mit Induktion machen will, dann ist als erstes im Induktionsschritt eine Indexverschiebung nötig, um die Induktionsvoraussetzung richtig anwenden zu können:

$\begin{align*} \prod_{i=1}^{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1+i} \right) = \prod_{i=2}^{n+2} \left(1 + \frac{1}{n+i} \right) = \ldots \end{align*}$

Jetzt kannst du dir überlegen, wie man die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringt.

Hi,

vielen Dank für deine Hilfe smile

Das war genau das, was mir fehlte, kam in der Uni noch nicht dran.
Die Aufgabe war leider es mit Induktion zu beweisen. Welche sonstigen Beweisverfahren hätten sich denn dafür noch angeboten? (Ist ja nie schlecht etwas voraus zu sein Big Laugh

)

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe
Dominik

14.11.2014, 15:21

HAL 9000

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Bringt man alles auf gemeinsame Bruchstriche, dann erkennt man in

$\begin{align*} \prod \limits_{i=1}^{n}\left(\frac{n+i+1}{n+i} \right) \end{align*}$

ein waschechtes Teleskopprodukt, wo man sofort (also auch ohne Vorgabe wie bei dir) das Ergebnis $\begin{align*} \frac{2n+1}{n+1} \end{align*}$ ausrechnen kann.

Zitat:

Original von Dominik_K
kam in der Uni noch nicht dran.

Da würde ich nicht drauf hoffen, dass die Vermittlung derartiger handwerklicher Tricks jemals drankommt.

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