Beweis sup<=inf(sup,sup)

14.11.2014, 21:33

Shinobi.Master

Beweis sup<=inf(sup,sup)

Hallo Mathemeister Wink

,

Ich habe folgenden Beweis zu liefern und bekomme nicht mal den Ansatz hin:

Die Aufgabe heißt:

Seien M und N zwei nach oben beschränkte nichtleere Teilmengen von R(relle Zahlen). Zeigen Sie:

Angenommen $\begin{eqnarray*} M \cap N \end{eqnarray*}$ ist nichtleer. Dann gilt:
sup( $\begin{eqnarray*} M \cap N) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ inf({sup(M),sup(N)})

Ich weiß wirklich nicht mal wie ich da anfangen soll. Wenn man Zahlen einsetzt für M und N ist es kein Beweis mehr im engeren Sinne.

Ich habe lediglich so angefangen, was mir nicht wirklich was bringt denke ich:

$\begin{eqnarray*} M \cap N = A, x \in M , y \in N \Rightarrow x,y \in A<br /> \Rightarrow sup(A) \leq inf({sup(M),sup(N)}) \end{eqnarray*}$

14.11.2014, 23:55

Namenloser324

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Du hast die Aufgabe ja eigentlich nur umformuliert^^

Das Infimum der beiden Suprema ist identisch zum Minimum.
Also entweder ist das Infimum ^= sup(M) oder sup(N).

Kann sup(M geschnitten N) > als sup(M) und sup(N) sein?
Gibt es ein Element in M geschnitten N das nicht in M und N liegt?

15.11.2014, 01:10

RavenOnJ

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RE: Beweis sup<=inf(sup,sup)
Offenbar ist doch $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(M)\land \sup(M\cap N)\le \sup(N) \end{align*}$ (dafür kann man leicht einen Widerspruchsbeweis führen). Damit folgt schnell die Behauptung.

15.11.2014, 03:05

Shinobi.Master

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Wie kommt man denn von

$\begin{eqnarray*} sup(M \cap N) \leq inf({sup(M),sup(N)}) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} sup(M \cap N) \leq sup(M) \wedge sup(M \cap N) \leq sup(N) \end{eqnarray*}$ ?

Und soll ich dann für die Mengen M und N die Elemente x und y einbringen?
Also: $\begin{eqnarray*} x \in M, y \in N \Rightarrow sup(x,y) \leq sup(x) \wedge sup(x,y) \leq sup(y) \end{eqnarray*}$

Oder ist das wieder Käse?

15.11.2014, 16:16

RavenOnJ

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RE: Beweis sup<=inf(sup,sup)

Zitat:

Original von RavenOnJ
Offenbar ist doch $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(M)\land \sup(M\cap N)\le \sup(N) \end{align*}$ (dafür kann man leicht einen Widerspruchsbeweis führen). Damit folgt schnell die Behauptung.

Ich hoffe, du verstehst mich richtig. Es ist damit gemeint:
$\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(M) \end{align*}$ und $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(N) \end{align*}$ .
Warum ist das so? Weil $\begin{align*} M\cap N\subset M \end{align*}$ und $\begin{align*} M\cap N\subset N \end{align*}$ . Das Supremum einer Teilmenge muss immer kleiner oder gleich dem Supremum der ganzen Menge sein.

15.11.2014, 21:20

Shinobi.Master

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Okay, jetzt habe ich das immerhin verstanden, warum man das so schreiben darf.

Aber wie mache ich damit jetzt weiter? Für einen Widerspruch muss am Ende eine falsche Aussage entstehen, die mit einer anderen GÜLTIGEN Aussage im Widerspruch steht.

Die Frage ist wie komme ich dahin? Soll ich jetzt mit der oberen Schranke s und der Epsilon Umgebung Menge etwas machen?

Also:
$\begin{eqnarray*} x\in M, y\in N, s_{M}=sup(M), s_{N}=sup(N), E=Epsilon<br /> \Rightarrow |x-s_{M}|<E/2 , |y-s_{N}|<E/2<br /> \Rightarrow |x-s_{M}|+|y-s_{N}|<E/2+E/2<br /> \end{eqnarray*}$

Führt das zum Widerspruch am Ende?

16.11.2014, 00:36

RavenOnJ

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RE: Beweis sup<=inf(sup,sup)
Es sei $\begin{align*} A \subset B \end{align*}$ . Annahme: $\begin{align*} \sup(A)> \sup(B)\Rightarrow \exists x\in A,x\notin B \end{align*}$ , was ein Widerspruch ist. Damit folgt $\begin{align*} \sup(A)\le \sup(B) \end{align*}$ .

Es gilt also $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(M) \end{align*}$ und $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \sup(N) \end{align*}$ , also $\begin{align*} \sup(M\cap N)\le \min\{\sup(M),\sup(N)\} \end{align*}$ .

16.11.2014, 14:26

Shinobi.Master

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Vielen Dank!

Mit Beweisen hab ich noch meine Schwierigkeiten, aber das wird hoffentlich noch.

Nochmals vielen Dank! Gott

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Beweis sup<=inf(sup,sup)

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