Beschränktheit, Sup/Inf, Min/Max

15.11.2014, 13:21

jean-paul

Beschränktheit, Sup/Inf, Min/Max

Hallo an alle, folgende Frage:

$\begin{eqnarray*} A:= \left\{ x\in \mathbb R | x^{2}+2x+2>5, x<0\right\} B:= \left\{ \frac{t}{t+1} |\mathbb R \left\{ \neq -1\right\} \right\} C:= \left\{ x\in \mathbb R | \exists n\in \mathbb N : nx=n^{2}+1 \right\} \end{eqnarray*}$

Zunächst möchte ich nur A besprechen und wie ich es richtig aufschreibe, dass A beschränkt (oben/ unten) ist.

Folgender Vorschlag: nach Umformung der ersten Ungleichung von A:
$\begin{eqnarray*} A:= \left\{ x\in \mathbb R | x>1, x<0\right\} \forall x\in \mathbb R : m \leq x \leq M \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} m=1; M=0 \end{eqnarray*}$
Damit folgt, dass 1 untere Schranke und 0 obere Schranke der Menge A ist. (Das ist doch gerade die Eigenschaft von A; oder soll ich es so verstehen, dass es für x>1 keine obere Schranke gibt und für x<0 keine Untere Schranke)

Im Anschluss zeige ich, dass es die kleinsten oberen/ unteren Schranken sind.

15.11.2014, 13:56

bijektion

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Zitat:

Damit folgt, dass 1 untere Schranke und 0 obere Schranke der Menge A ist. (Das ist doch gerade die Eigenschaft von A; oder soll ich es so verstehen, dass es für x>1 keine obere Schranke gibt und für x<0 keine Untere Schranke)

$\begin{eqnarray*} \text{Unter Schranke}>\text{Obere Schranke} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und Achtung: ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ überhaupt nach unten beschränkt?

15.11.2014, 14:24

jean-paul

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{Unter Schranke}>\text{Obere Schranke} \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Und Achtung: ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ überhaupt nach unten beschränkt?

Guter Einwand mit obere Schranke < untere Schranke.

Stelle ich mir A mit seiner Eigenschaft auf der Zahlengeraden R vor, dann verläuft die Menge A

wg. $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (-\infty ,3)\cup (1,\infty ) \end{eqnarray*}$ und
wg. $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ .

Betrachte ich mir die gesamte Menge, so existieren also keine Schranken, weil
$\begin{eqnarray*} zz.: \forall x\in \mathbb R \exists n\in \mathbb N mit x<n \end{eqnarray*}$
d.h. die Menge der Natürlichen Zahlen ist nicht nach oben beschränkt ?

15.11.2014, 14:53

bijektion

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Deine Argumentation ist sehr verwirrend. Das $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ existiert, denn für alle $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ ist sicherlich $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ .

Eine untere Schranke macht mehr Probleme: Für alle $\begin{eqnarray*} x<-3 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ und trivialerweise auch $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

15.11.2014, 16:38

jean-paul

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Zitat:

Original von bijektion
Deine Argumentation ist sehr verwirrend. Das $\begin{eqnarray*} \sup \end{eqnarray*}$ existiert, denn für alle $\begin{eqnarray*} y\in A \end{eqnarray*}$ ist sicherlich $\begin{eqnarray*} y<0 \end{eqnarray*}$ .

Eine untere Schranke macht mehr Probleme: Für alle $\begin{eqnarray*} x<-3 \end{eqnarray*}$ gilt nämlich $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ und trivialerweise auch $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ .

Du hast mir anscheinend die Lösung aufgeschrieben, dennoch frage ich mich wie man das richtig erkennt.
$\begin{eqnarray*} y\in A: \end{eqnarray*}$ , dann gilt nach Definition von nach oben beschränkt: Eigenschaft $\begin{eqnarray*} y\in A: y<0 \end{eqnarray*}$ ist wahr und Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ ist falsch für einige Werte von y.

Wenn ich mir Menge A betrachte, genügt es also, dass eine Eigenschaft wahr ist, damit ich sagen kann, dass ein obere Schranke existiert?

Zum Inf:
$\begin{eqnarray*} y\in A: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ ist falsch für einige Werte von y.
Betrache $\begin{eqnarray*} x<-3 \end{eqnarray*}$ : dann gilt $\begin{eqnarray*} x^2+2x+2>5 \end{eqnarray*}$ und trivialerweise auch $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt keine untere Schranke.

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