Ein Zykel einer Permutation Pi zerfällt in zwei Zykel von Sigma und alle anderen Zykeln von Pi ...

15.11.2014, 13:36	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Zykel einer Permutation Pi zerfällt in zwei Zykel von Sigma und alle anderen Zykeln von Pi ... Meine Frage: Hallo! Das zu lösende Problem lautet folgendermaßen: Seien Sigma und Pi Permutationen einer (endl.) Menge X derart, dass Pi = Sigma ° Tau , für Tau eine Transposition, gilt. Zeige, dass einer der Fälle eintritt: a) Ein Zykel von Pi zerfällt in zwei Zykel von Sigma und alle anderen Zykeln von Pi sind auch Zykeln von Sigma b) Zeige das Gleiche mit vertauschten Rollen von Sigma und Pi. (?) Meine Ideen: Sei allgemein $\begin{eqnarray} X = \left\{ i rsub 1 , i rsub 2 , ... , i rsub n\right\} \end{eqnarray}$ . Anschließend habe ich die Transposition zweier Elemente $\begin{eqnarray} i rsub j , i rsub k `` j,k`\in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray}$ . Sei o.B.d.A j < k . Dann resultiert daraus unter Anwendung von Tau: $\begin{eqnarray} Tau\left(i rsub j\right)= i rsub k<br /> Tau\left(i rsub k\right)= i rsub j \end{eqnarray}$ . Die Zykelschreibweise vo Tau lautet $\begin{eqnarray} Tau = \left(i rsub j , i rsub k\right) \end{eqnarray}$ Diese beiden Elemente werden durch Tau vertauscht. Alle anderen Elemente der endlichen Menge X bleiben Tau-invariant. Nun wende ich Sigma auf Tau an, allerdings weiß ich nicht, wie ich daraus eine geeignete Zykelschreibweise von Pi gewinnen kann, durch welche ich eine geeignete Zerfällung von Pi herleiten könnte. Für Hilfe wäre ich äußerst dankbar!
16.11.2014, 10:03	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ein Zykel einer Permutation Pi zerfällt in zwei Zykel von Sigma und alle anderen Zykeln von Pi . hallo, also zunächst ist bei dir beim editieren was schieflgelaufen, du meinst natürlich $\begin{eqnarray} \pi=\sigma\circ\tau \end{eqnarray}$ , und es ist so: Man kann jede permutation aus S_n als produkt von endlich vielem disjunkten zyklen darstellen, und eine transposition ist nichts anderes als ein 2er-zykel, und dann wiederum kann man jeden zykel, der grösser als 2 ist, in mehrere kleinere zyklen aufspalten, so z.B (1234)=(12)(234). Mit diesem wissen solltest du die aufgabe eigentlich lösen können. gruss ollie3
16.11.2014, 17:54	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Zerlegung (1234) = (12)(234) nicht so ganz. Ich überführe 2 auf 3, 3 auf 4, 4 auf 2 und permutiere abschließend 1 mit 2. Und das soll dann die Identitätsabbildung ergeben?

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