Asymptotische Gleichheit

15.11.2014, 13:52	MoritzMatheNoob	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptotische Gleichheit Meine Frage: Hallo, ich habe ein Problem. Ich soll zeigen, für welche c aus Z $\begin{eqnarray} a_{n} = (\sqrt{n+1} -\sqrt{n}) und (b_{n} = \frac{1}{(c\sqrt{n} )}) \end{eqnarray}$ asymptotisch gleich sind. Meine Ideen: Dafür habe ich den Quotient =1 gesetzt und komme dann immmer auf folgenden Term $\begin{eqnarray} c^{2} - 2c - \frac{1}{n} = 0 \end{eqnarray}$ . Dann versuche ich das mit der pq-Formel zu lösen und komme dann auf Ergebnisse, die mich irgendwie nicht weiter bringen. Ich habe da folgendes stehen $\begin{eqnarray} c_{1,2} = 1 \pm \sqrt{(\frac{1+(\frac{1}{n} )}{1} )} \end{eqnarray}$ . Dann lasse ich $\begin{eqnarray} n\Rightarrow \infty \end{eqnarray}$ und komme auf $\begin{eqnarray} c_{1,2} = \end{eqnarray}$ 2 und 0. Das kann aber nicht richtig sein, da in der Gleichung $\begin{eqnarray} \frac{a_{n} }{b_{n} } \end{eqnarray}$ dann eine 0 im Nenner stehen würde. Ich bitte um Hilfe, denn ich weiß, dass ich etwas falsch mache nur was ist mir nicht klar.
15.11.2014, 13:58	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst doch nur $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray}$ berechnen... Wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray} =1 \end{eqnarray}$ ist, sind die beiden Folgen asymptotisch gleich.
15.11.2014, 14:19	MoritzMatheNoob	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist mir schon klar. Aber ich suche ja die Konstante C, so dass genau das gilt.
15.11.2014, 14:26	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte $\begin{eqnarray} \lim \frac{a_n}{c\cdot\sqrt{n}}=\frac{1}{c}\cdot\lim \frac{a_n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ .
15.11.2014, 14:40	MoritzMatheNoob	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok vielleicht stehe auf dem Schlauch ABER ich soll ja C suchen, so dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } = 1 \end{eqnarray}$ . Wenn ich die Folgen einsetzte, steht da $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } = ( \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{\frac{1}{c\sqrt{n} } } ) \end{eqnarray}$ . Das lässt sich dann umformen in $\begin{eqnarray} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})c\sqrt{n} \end{eqnarray}$ und das Ganze soll dann ja 1 sein. Also $\begin{eqnarray} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})c\sqrt{n} = 1 \end{eqnarray*}$ das nach C aufgelöst und ich sollte doch eine Lösung haben, oder? Und wenn ja, ich bekomme es nicht richtig nach c aufgelöst.
15.11.2014, 14:49	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum beachtest du dann nicht den Hinweis? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n} }{b_{n} } = c\cdot \lim_{n \to \infty } (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot \sqrt{n} =\dots= c\cdot \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \end{eqnarray}$ , dann kannst du das Ergebnis ablesen.
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15.11.2014, 14:56	MoritzMatheNoob	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh man, jetzt komme ich mir doof vor danke für die Hilfe!
15.11.2014, 14:59	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem

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