Beweis U1,U2 Vektorräume |
15.11.2014, 16:20 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis U1,U2 Vektorräume Hallo liebe Forumsmitglieder :-) Es tut mir wirklich Leid, euch die Frage zu stellen, aber ich war in der letzten Mathevorlesung nicht präsent und habe die Thematik des Vektorraumes nicht ganz begriffen. Eigentlich so ziemlich gar nicht. Und wir haben einen Übungszettel als wöchentliche Hausaufgabe vorgelegt bekommen. Ich habe dabei aber das Problem, dass ich die Beweise nicht durchführen kann, wenn ich das Ganze nicht vollständig verstanden habe. Ich bräuchte wenigstens etwas Hilfe bei der a, die wie folgt lautet: a) Es seien U1 U2 ^n zwei Vektorräume. Zeigen Sie, dass U1 U2 genau dann ein Vektorraum ist, wenn U1 c U2 und U2 c U1 Meine Ideen: Meine eigene Idee ist, dass man vielleicht einen Widerspruchsbeweis veranstaltet. Man muss hier ja beide Richtungen beweisen, da hier eine Verknüpfung mit genau dann ist, oder ? Ich hätte das jetzt so gemacht: Voraussetzung: Es seien U1 U2 ^n zwei Vektorräume. Annahme: U1 nicht U2 und U2 nicht U1 Beweis: Müsste ich hier jetzt die ganzen Axiome durchführen?´Und wenn ja, wie könnte ich anfangen ? Vielen Dank an euch |
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15.11.2014, 16:25 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis U1,U2 Vektorräume
Kannst du die Aufgabe nochmal korrekt aufschreiben? Ich bin mir nämlich ziemlich sicher, dass das so nicht da stand (und wenn doch, kann ich dir ein Gegenbeispiel nennen). |
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15.11.2014, 16:31 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a) Es seien U1U2 aus dem R^n zwei Vektorräume. Zeigen Sie U1U2 ist genau dann ein Vektorraum, wenn U1 U2 oder U2 U1 Sorry, hab die c vertauscht gehabt |
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15.11.2014, 16:37 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das macht immer noch keinen Sinn. ist nur eine einzige Menge. Wie sollen das zwei Untervektorräume sein? Besser wäre "Seien zwei Vektorräume..." Die eine Richtung des Beweises ist trivial. Für die andere Richtung kannst du einen Widerspruchsbeweis verwenden. |
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15.11.2014, 16:47 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab doch gar nicht Untervektorräume geschrieben ? Ja, das Problem ist, dass ich ein Beispiel dabei bräuchte, wie man da weiter fortgeht, weil ich wie gesagt bei der Vorlesung nicht präsent sein konnte und das Skript irgendwie noch nicht online ist... Ich bin in dem Thema noch nicht so ganz Zuhause :/ Liebe Grüße |
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15.11.2014, 17:06 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Untervektorraum eines Vektorraums ist einfach eine Teilmenge dieses Vektorraums, die mit derselben Addition und Skalarmultiplikation wieder ein Vektorraum ist. D.h. und sind hier Untervektorräume von . Aber wenn du diesen Begriff noch nicht kennst bzw. ihr das in der Vorlesung noch nicht hattet, dann bleib ruhig beim Begriff "Vektorraum". Sind dir die Eigenschaften eines Vektorraums bekannt (u.a. Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation)? Wir fangen mal mit der einfachen Richtung an: ist ein Vektorraum. Nimm zuerst an, dass . Was kannst du dann über sagen? Und ist das dann ein Vektorraum? Und genauso geht der Fall . |
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15.11.2014, 17:38 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke dir bis hierhin schonmal ! ) Wenn U1 U2 , dann kommt jedes Element von U1 doch auch in U2 vor? Und bei der Vereinigung zweier Mengen hat man das ja auch. Wenn man dieses Mengendiagramm verschriftlicht, vereinigen sich die beiden Mengen ja in einem Bereich, wo die Elemente aufgeführt sind, die sich in beiden Vektorräumen befinden.. Das ist ja die Überlegung dabei, oder ? Bei einem Vektorraum muss doch die skalare Multiplikation gültig sein und auch das Kommutativ- und Assoziativgesetz oder? Vielen Dank ) ! |
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15.11.2014, 17:43 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schön mit Worten beschrieben, aber noch hast du mir nicht gesagt, was dann ist; du kannst die Menge konkret angeben. |
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15.11.2014, 18:09 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Menge in Bezug auf diese konkret angeben kann ich nicht. Ich weiß nur, dass der Vektorraum (zumindest) in R^3 von den Einheitsvektoren aufgespaltet wird. Die Menge konkret angeben ,kann ich nicht bei U1 und U2... Oder geht es darum, dass man einen Buchstaben voraussetzt, der die Menge angibt, zum Beispiel man nehme E{e1,e2,....ek) Wie gesagt, bin noch gar nicht im Thema drinne.:/ Sorry hierfür.. |
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15.11.2014, 18:20 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frage, was ist, wenn , hat noch gar nichts mit Vektorräumen zu tun, sondern mit einfacher Mengenlehre. Wenn man sich das in einem Mengendiagramm (auch Venn-Diagramm genannt) veranschaulicht, dann sieht das so aus: [attach]36087[/attach] Dabei ist das rot schraffierte und das grün schraffierte. Man sieht jetzt, dass ist. Das blaue ist dann . Fällt dir jetzt etwas auf, was man über die blaue Menge sagen kann? (Es müsste dir jetzt sofort ins Auge springen. ) |
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15.11.2014, 18:41 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass das blauschraffierte das Gesamte ist. Also alle Elemente von U1 und U2 zusammen. Somit ist die Teilmenge jeweils enthalten. Oder worauf wolltest du genaustens hinaus? Das grünschraffierte ist sowohl in U1 C U2 als auch in dem Kreis mit U1 U U2. Ganz genauso wie das blauschraffierte (oben erwähnt). Wenn ich falsch liege, bitte entschuldigen |
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15.11.2014, 18:44 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wollte darauf hinaus, dass ist. |
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16.11.2014, 11:23 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so. Vielen Dank für deine Hilfe. Ich bräuchte nur mathematisch irgendwie einen Anschubser, da ich noch Erstsemestler bin und nicht weiß, wie man einen Beweis bei Vektorräumen aufschreibt, da ich ja auch mehrere Axiome denke mal überprüfen muss. Also ist das mein erster auf dem Gebiet... Dankeschön! |
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16.11.2014, 11:41 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Richtung bei der wir jetzt gerade sind, brauchst du überhaupt keine Axiome überprüfen. Ich fasse nochmal zusammen: Wir sind gerade bei dem Fall und wollen zeigen, dass dann ein Vektorraum ist. Jetzt haben wir aber festgestellt, dass ist. Ist das also ein Vektorraum? |
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16.11.2014, 12:26 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe das ja noch nicht ganz verstanden,da ich wie gesagt nicht präsent war. Ich habe versucht, es mir selber zu erklären, aber irgendwie scheitere ich daran. Jedoch müsste es doch eigentlich ein Vektorraum sein, weil wir ja beweisen sollen, dass wenn u1 teilmenge von u2 ist und andersrum, das ein VR ist.. Wenn wir u1 U u2=u2 haben, kann ich somit auch nicht sagen, woran man erkennt , dass ein VR vorliegt. Ich glaube da liegt das basale Problem Vielen Dank Liebe Grüße |
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16.11.2014, 12:28 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir wissen, dass und Vektorräume sind; und dass ist. Da dürfte doch die Frage nicht so schwer zu beantworten sein, ob ein Vektorraum ist. |
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16.11.2014, 12:42 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja gut, wenn U1 und U2 Vektorräume sind, muss auch dieses Konstrukt einen Vektorraum darstellen. Die beiden Vektorräume werden ja vereinigt zu einem Vektorraum... |
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16.11.2014, 12:46 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Jetzt müssen wir noch den Fall betrachten, und zeigen, dass dann wieder ein Vektorraum ist; das geht aber genauso wie eben. |
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16.11.2014, 12:57 | Fireball | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dankeschön! Also beim ersten Fall: Z.Z: U1 U2 ist Vektorraum, wenn U1 U2 oder U2 U1 Beweis: U1 U2 => u1 U1 und u1 U2 => U1 U2 = U2 q.e.d. Ich weiß nicht, ob das so richtig wäre.. ich brauch glaube noch etwas Hilfe bei der Formalia :-) |
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16.11.2014, 13:22 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
De Teil " und " solltest du besser so schreiben: "Für alle gilt ." |
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