Konvexität bzgl. Funktionen und ihre Folgerungen

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Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Konvexität bzgl. Funktionen und ihre Folgerungen
Meine Frage:
Hallo!
Ich höre momentan Analysis 1 und wir haben gerade das Thema "konvexe Funktionen". Neben der Definition von Konvexität haben wir einige Lemma und Sätze kennengelernt, die aufeinander aufbauen. Es fällt mir dabei sehr schwer die einzelnen Zusammenhänge zu erkennnen. Ich würde gerne einige Dinge besser verstehen wollen! unglücklich
Hier sind zunächst die Definition und Sätze, mit denen wir arbeiten:

Definition:
f ist konvex, wenn gilt: mit und .



Satz 1:
f ist konvex der Differenzenquotient wächst monoton: für .


Satz 2: (Schlussfolgerung aus Satz 1)
Ist f differenzierbar, so gilt die folgende Äquivalenz:
f konvex f' monoton wachsend.


Satz 3: (Schlussfolgerung aus Satz 1 und 2)
Ist f zwei mal differenzierbar, so gilt die folgende Äquivalenz:
f konvex für alle .


Meine Ideen:

Ich habe mir natürlich die Definition geometrisch veranschaulicht: f ist konvex, wenn ihr Graph zwischen je zwei Punkten (hier nach unten gewölbt ist, dh niemals oberhalb der Sekante verläuft. Ich habe die Sätze auch an einem Beispiel betrachtet, um ein besseres Gefühl dafür zu bekommen. Dennoch habe ich einige Fragezeichen im Gesicht:


Wie genau folgt aus der Definition der erste Satz? Den Beweis mit seinen Umformungen verstehe ich sehr gut, jedoch fehlt mir hier die inhaltliche Komponente....

Warum kann man zum Beispiel aus dem ersten Satz den zweiten Satz einfach schlussfolgern? Hier ist mir zum Beispiel die Hinrichtung nicht ganz klar.


Liebe Grüße! smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard! Wink

Du kannst jedes als Konvexkombination von und schreiben, d.h. es gibt ein mit .
Setze das in die Ungleichung , und zeige, dass diese Ungleichung äquivalent ist zu .
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Satz 1
Hallo zurück Wink

Okay, ich probiere es mal. Ich fange aber mal von der anderen Richtung an, denn die ist mir lieber smile








An der Stelle weiß ich leider nicht, was ich machen soll...
Am Ende muss dann das hier heraus kommen:

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Satz 1
Zitat:
Original von Prinzessin_B
Am Ende muss dann das hier heraus kommen:


Mit dieser Ungleichung hast du doch angefangen. verwirrt

Am Ende sollte da stehen.

Das, was du davor geschrieben hast, sieht aber schon ganz gut aus. Dividiere jetzt durch und dann durch (überlege dir auch, warum man das hier machen darf).

Danach hast du ja im Zähler schon das richtige stehen; und wenn du dir die Nenner anguckst, fällt dir vielleicht auch auf, wie man die Nenner anders schreiben kann.
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur
Oh, Entschuldigung, ich hab das falsche kopiert! Ich war so aufgeregt, dass man mir so schnell geantwortet hat, dass ich das falsche kopiert habe! Natürlich muss am Ende
stehen! smile

durch darf man teilen, da der gesamte Ausdruck nie 0 werden kann: Da eingeschränkt ist, dh kann nie 0 oder 1 werden und aufgrund der Einschränkung nie 0 sein kann.

durch darf man auch teilen, da der Audruck auch nie 0 werden kann, aufgrund .

Jetzt stellt sich mir natürlich die Frage, wie man darauf kommt, dass man einfach durch und dann durch teilt. verwirrt


Liebe Grüße
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Zusatz
Es kommt mir so vom Himmel gefallen, aber ich mach es dennoch mal:




Ich habe gerade versucht, so umzuformen, dass ich jeweils den Nenner umschreiben kann, aber das passt nicht so ganz. Eventuell müsste ich etwas ergänzen...
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrektur
Zitat:
Original von Prinzessin_B
Ich war so aufgeregt, dass man mir so schnell geantwortet hat, dass ich das falsche kopiert habe!

Womit hast du denn sonst gerechnet? Big Laugh

Zitat:
Original von Prinzessin_B
durch darf man teilen, da der gesamte Ausdruck nie 0 werden kann:

Da wir hier eine Ungleichung haben, reicht das nicht: Wir müssen auch noch überprüfen, ob positiv ist (wenn es negativ wäre, müssten wir bei der Division das Relationszeichen umdrehen). Das ist aber offensichtlich der Fall.
Genauso bei .

Zitat:
Original von Prinzessin_B
Jetzt stellt sich mir natürlich die Frage, wie man darauf kommt, dass man einfach durch und dann durch teilt. verwirrt

Ich könnte jetzt einfach sagen: Lange Erfahrung. Augenzwinkern Ich habe diese Aussage vor einiger Zeit selbst bewiesen, und da hatte ich einen ähnlichen Weg gewählt.
Wenn du dir die Ungleichung mal anguckst, dann sollte dir auffallen, dass wir links und rechts schon den Zähler der Ungleichung stehen haben, die am Ende rauskommen soll; bis auf die Faktoren bzw. .
D.h. man könnte ja erstmal versuchen, diese beiden Faktoren zu "beseitigen". Und genau das machen wir, wenn wir durch dividieren.
Jetzt stehen da zwei Brüche, von denen die Zähler schon die gleichen wie in der Ungleichung am Ende sind.
Dann muss man eben noch ein bisschen rumprobieren und überlegen, bis man auf die Idee kommt, dass man noch durch dividieren muss. Wenn man Glück hat, sieht man das relativ schnell; aber oft braucht diese Erkenntnis etwas Zeit. Augenzwinkern

Edit: Wieso hast du im Nenner auf der rechten Seite stehen? Das müsste sein. Multipliziere die beiden Nenner mal aus; dann solltest du es sehen.
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrektur
Zitat:
Original von 10001000Nick1
Zitat:
Original von Prinzessin_B
Ich war so aufgeregt, dass man mir so schnell geantwortet hat, dass ich das falsche kopiert habe!

Womit hast du denn sonst gerechnet? Big Laugh



Da wollte man nichts falsches schreiben und dann schreibt man doch was falsches. traurig


Zitat:
Original von 10001000Nick1
Zitat:
Original von Prinzessin_B
durch darf man teilen, da der gesamte Ausdruck nie 0 werden kann:

Da wir hier eine Ungleichung haben, reicht das nicht: Wir müssen auch noch überprüfen, ob positiv ist (wenn es negativ wäre, müssten wir bei der Division das Relationszeichen umdrehen). Das ist aber offensichtlich der Fall.
Genauso bei .


Oh, da war ich zu unachtsam. Wir sind ja bei einer Ungleichung Freude

Also:






Ich habe gerade Tomanten auf den Augen, ich seh es gerade nicht. unglücklich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Korrektur
Zitat:
Original von Prinzessin_B
Da wollte man nichts falsches schreiben und dann schreibt man doch was falsches. traurig

Hä? Habe ich irgendwas geschrieben, was dich irgendwie stören könnte? Oder warum das traurig -Emoticon? verwirrt

Zitat:
Original von Prinzessin_B


Gucken wir uns erstmal die linke Seite an:
Es war doch .
Jetzt sollte dir aber etwas auffallen, was diese beiden Terme miteinander zu tun haben smile
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, jetzt! Ich habe auf meinem Zettel mit falschen indizes umgeformt!



für die linke Seite:
.
.

für die Rechte Seite:

.
.

Dann folgt zusammen:

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig. Freude
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank! smile Und wie kann ich aus den ersten Satz den zweiten Satz schlussfolgern?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Richtung musst du zeigen, dass für alle gilt: , wenn konvex ist.
Schreib dir dazu mal die Definitionen von und auf, und überlege dann, wie du hier den ersten Satz verwenden kannst (das springt einem eigentlich sofort ins Auge Augenzwinkern ).

Für die andere Richtung könntest du mithilfe des Mittelwertsatzes zeigen, dass für alle gilt, wenn monoton steigend ist, woraus dann nach Satz 1 die Konvexität von folgt.
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Satz 2
so Entschuldigung für die Verspätung. smile
Ich fange jetzt mal mit der Rückrichtung, da ich die Hinrichtung nicht ganz schaffe:



Seien mit .
Nach dem MWS der Differentialrechnung folgt:
und mit und .
Nach Voraussetzung gilt, dass f' monoton wachsend ist:

Jetzt einfach ersetzen:

gilt für alle .
Das ist nichts anderes, dass der Differenzenquotienten monoton wächst für .
f ist konvex.

Ich hoffe ich hab es jetzt richtig gemacht smile .
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt. Freude

Hast du dir mal die Definition von und aufgeschrieben? Damit ist die Hinrichtung wirklich ganz einfach. smile
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis von Satz 2
Juhu! smile
Gut, dann versuche ich mich nun an die Hinrichtung:

Betrachte .
Da nach Voraussetzung f konvex ist, wächst der Differenzenquotient monoton, dh:
für
Jetzt muss man sich die Grenzübergänge ansehen:
(Ich bin mir aber hier nicht sicher ob der einseitige Limes jeweils reicht.....)



für .
f' monton wachsend.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist nach Voraussetzung differenzierbar, d.h. der (zweiseitige) Grenzwert des Differenzenquotienten existiert an jeder Stelle.
Ein zweiseitiger Grenzwert existiert aber nur dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren und beide gleich sind.
D.h. es reicht, die einseitigen Grenzwerte zu betrachten.
Prinzessin_B Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
ist nach Voraussetzung differenzierbar, d.h. der (zweiseitige) Grenzwert des Differenzenquotienten existiert an jeder Stelle.
Ein zweiseitiger Grenzwert existiert aber nur dann, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren und beide gleich sind.
D.h. es reicht, die einseitigen Grenzwerte zu betrachten.


Ich habe mir das nochmal angeschaut. Was mache ich denn wenn ich eine in [a,b] stetige Funktion f habe aber nur in ]a,b[ diffbar ist. Dannist f auch in [a,b] konvex, genau dann wenn f' monton wachsend ist. Was mach ich dann? Warum reicht hier jeweils der einseitige Grenzwert? Wie muss ich das dann begründen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Für Differenzierbarkeit braucht man eigentlich offene Mengen.
Möchte man die Ableitung einer auf differenzierbaren Funktion auch in den Randpunkten definieren, dann setzt man und (falls diese Grenzwerte existieren).

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