Für welche x aus R gilt diese Ungleichmung (mit Beträgen)?

15.11.2014, 16:46

waldiphil

Für welche x aus R gilt diese Ungleichmung (mit Beträgen)?

Guten Nachmittag,

meine Aufgabe diesmal:

Für welche x ungleich 2 aus R gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{| x - 2 | } > \frac{1}{1+|x-1 | } \end{eqnarray*}$

Nachdem ich die ganze Zeit zuvor Ungleichungen mit Beträgen bewiesen habe, wirkt dieser Aufgabentyp zunächst mal erfrischend einfach Freude

Tja, aber zu früh gefreut, sonst müsste ich die Frage ja nicht hier stellen.

Umgeformt und vereinfacht ende ich mit:
$\begin{eqnarray*} | x-1 | - | x-2 | > -1 \end{eqnarray*}$

Was nun?
Ich habe schon versucht, verschiedene Zahlen einzusetzen und die Vermutung ist, dass die Aussage für alle x größer 1 gilt.

Aber wie bekomme ich die Ungleichung in diese Form Augenzwinkern

Zur Linken Seite habe ich mir mittels der Dreiecksungleichung Gedanken gemacht:
$\begin{eqnarray*} | x-1 | + | x-2 | > | 2x - 3 | \end{eqnarray*}$
Aber auch das bringt mich nicht wirklich weiter, zumal ich da ja einfach ein Minus weglasse, dass man nicht so einfach wegbekommt...

Ich bin für jede Hilfe dankbar smile

Viele Grüße
Philipp

Nachtrag:
Gerade habe ich noch ein bisschen damit experimentiert, die Beträge als $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} } \end{eqnarray*}$ auszudrücken.
Vorausgesetzt, meine Äquivalenzumformungen sind richtig, lande ich am Ende dann jedoch bei $\begin{eqnarray*} -3> 1 \end{eqnarray*}$ .
Das bringt mir ja nicht wirklich was?
Schließlich würde es ja bedeuten, dass die Aussage für kein x gilt, was sich aber durch Gegenbeispiele wiederlegen lässt....

15.11.2014, 16:52

Guppi12

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Hallo,

vorweg: Das Zeichen "<" bzw. ">" findet sich auf der Tastatur direkt rechts neben der Shift-Taste. In Latex werden sie ebenfalls so dargestellt.

Du könntest zum Beispiel eine Fallunterscheidung machen, ob

$\begin{eqnarray*} x-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-2 \leq 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} x-1 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du in jedem der Fälle die Betragszeichen auflösen.

15.11.2014, 17:47

waldiphil

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Wuups, da hab ich wohl doppelt den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen Hammer

("größer-Zeichen" und Fallunterscheidung).

Hab nun brav Fälle unterschieden - doch irgendwie scheine ich mich da zu verrechnen, weil bei zwei Fällen kommt etwas raus was so eigentlich nicht sein kann:

Fall $\begin{eqnarray*} x-1\leq 0\wedge x-2\geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -\left(x-1\right) -\left(x-2\right) >-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x + 1 -x + 2 >-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x + 3 > -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x>-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$

Problem: Setze ich z.B. 10 ein, gilt die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} | 10 - 1 | -| 10 - 2 | > -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9 - 8 > -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 > -1 \end{eqnarray*}$

Fall $\begin{eqnarray*} x-1\leq 0\wedge x-2\leq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -\left(x-1\right) -\left[-\left(x-2\right) \right] >-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x + 1 +x -2 >-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 > -1 \end{eqnarray*}$

Die Äquivalenzumformungen sind doch so richtig, oder?

Ein weiterer Fall ergibt, dass $\begin{eqnarray*} x > 1 \end{eqnarray*}$ , der letzte endet mit $\begin{eqnarray*} 1 > -1 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2014, 18:42

waldiphil

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Auch wenn die Frage wahrscheinlich sehr banal ist und weniger in den Bereich Hochschulmathematik gehört, würde ich mich doch freuen, wenn sich noch jemand finden könnte und mich aufklären würde, ob meine Rechnung so richtig und was man daraus schließen kann bzw. wo eventuell ein Fehler liegt Augenzwinkern

Vielen Dank

16.11.2014, 18:49

Guppi12

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Hallo,

tut mir Leid, ich hatte übersehen, dass du geantwortet hast.

Zitat:

Fall $\begin{eqnarray*} x-1\leq 0\wedge x-2\geq 0 \end{eqnarray*}$ :

Den Fall kannst du weglassen, denn der ist unmöglich. Wenn $\begin{eqnarray*} x-1 \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} x-2 \end{eqnarray*}$ erst recht kleiner gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Problem: Setze ich z.B. 10 ein, gilt die Ungleichung:

Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ nicht im Definitionsbereich dieses Falls liegt, denn es ist ja $\begin{eqnarray*} 10-1 = 9 \end{eqnarray*}$ nicht kleiner gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Wie ich ja schon sagte, trifft dies auf kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu.

Das Ergebnis des 2. Falls sagt dir, dass es auch keine Lösung der Ungleichung gibt für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich des 2. Falls. Denn gäbe es ein solches, gölte $\begin{eqnarray*} -1<-1 \end{eqnarray*}$ , was ja falsch ist.

Verstehst du damit etwas besser, wo der Hase hinläuft?

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