Funktionsschar und Ortskurve

15.11.2014, 18:23

Miyano

Funktionsschar und Ortskurve

Meine Frage:
Hallo!

Ich bin gerade dabei mich auf eine Kursarbeit im Mathe LK vorzubereiten, der Themenblock Analysis ist meine große Schwäche, und so habe ich gerade ein Problem mit einer Aufgabe die eine Funktionsschar beinhaltet.

Gegeben ist die Funktionsschar mit k $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ R: $\begin{eqnarray*} f_{k} \end{eqnarray*}$ (x) = (2x+k)* $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$

Meine Aufgabe ist es zu zeigen dass die Graphen dieser Schar genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse, einen Hochpunkt und eine Wendestelle hat.

Meine Ideen:
Dazu hatte ich folgende Gedanken: Wenn man für den Schnittpunkt mit der x-Achse die Funktion =0 setzt, müsste k verschwinden sodass k keinen Einfluss mehr auf die Nullstelle hat. Gerechnet hab ich wiefolgt:

0 = (2x+k)* $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ / : $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$

0= 2x+k /-k

k = 2x / :2

1/2k = x

Ganz sicher bin ich mir bei dieser Rechnung nicht, da k immernoch vorliegt. Ist mein Gedanke richtig gewesen oder muss ich an diese Aufgabe ganz anders heran gehen?

Dasselbe Problem habe ich mit dem Hochpunkt, aber ich denke wenn mein Problem hier gelöst ich kann ich den Rest hoffentlich mit der Erkenntnis auch lösen.

15.11.2014, 18:35

sixty-four

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RE: Zeige an der Funktionsschar dass...
Deine Rechnung musst du noch einmal überprüfen. Du hast einen Vorzeichenfehler.

Ich glaube, du hast die Aufgabenstellung missinterpretiert. Es haben nicht alle Funktionen der Funktionsschar dieselbe Nullstelle, sondern jede Funktion hat nur eine Nullstelle. Diese hängt dann aber sehr wohl noch vom Scharparameter ab. Das gleiche gilt dann auch für die anderen markanten Punkte.

15.11.2014, 18:37

Mathema

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RE: Zeige an der Funktionsschar dass...
Dein Gedanke ist richtig, du hast nur einen Vorzeichenfehler.

Für den Schnittpunkt mit der x-Achse suchen wir die Nullstelle, d.h. wir setzen den Funktionsgerm gleich Null und verwenden hier das Nullprodukt. Das hast du richtig erkannt. Nur hier ist der Vorzeichenfehler:

0= 2x+k /-k

-k = 2x / :2

Für den Extrempunkt brauchst du die erste Ableitung. Kannst du die bilden?

edit: zu spät... Wink

edit 2: Ich sehe gerade das Nullprodukt wurde gar nicht verwendet. Siehe (und beachte!) den Beitrag von Björn unter mir. Darüber solltest du dir noch mal Gedanken machen.

15.11.2014, 18:37

Bjoern1982

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Zitat:

0= 2x+k /-k

k = 2x / :2

Wenn du k auf die andere Seite bringst, dann steht links nicht k sondern ...

Ansonsten stimmt das soweit.
Je nachdem was man für k einsetzt, entsteht somit dann eine (genau eine) Nullstelle.
Das Auftauchen von k beim Term für die Nullstelle, ist also hier kein Problem.

Zitat:

0 = (2x+k)* $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ / : $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das ist zwar richtig, aber ist dir auch wirklich klar, warum du hier tatsächlich die Gleichung ungestraft durch e^(-x) dividieren darfst (man darf ja nicht durch Null teilen) ?

15.11.2014, 18:43

Miyano

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Danke ersteinmal für die Antworten!

@sixty-four Natürlich! Danke für den Hinweis, ich habe das Minus nur hier beim übertragen vergessen mit einzutagen. Stimmt, ich hab es anscheinend falsch interpretiert, nach nochmaligem lesen ist mir das nun auch aufgefallen. Genügt dann der Ausdruck -0,5k = x als Lösung zu diesem Teil?

@Mathema Ich habe die erste Ableitung gebildet, lautet bei mir wiefolgt: fk'(x)= -e^-x(-2+2x+5)

@Bjoern1982 Soweit ich mich erinnern kann konnte e niemals 0 werden oder? Deshalb denke ich konnte man hier durch e^-x teilen.

Danke für eure Unterstützung!

15.11.2014, 18:49

sixty-four

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Zitat:

Original von Miyano
Genügt dann der Ausdruck -0,5k = x als Lösung zu diesem Teil?

Ja, aber ich würde die Gleichung erstens anders herum schreiben und zweitens als Bruch, also:

$\begin{eqnarray*} x=-\frac12 k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-\frac{k}2 \end{eqnarray*}$

Dann sieht es gut aus.

15.11.2014, 18:51

Bjoern1982

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Zitat:

Dann sieht es gut aus.

Ich bin sofort wieder weg, aber das ist doch vollkommen egal, auf welche Seite man das jetzt hinschreibt und ob nun 1/2 oder 0,5 - das ist reine Geschmacksache. Wink

15.11.2014, 18:58

sixty-four

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Zitat:

Dann sieht es gut aus.

Ich bin sofort wieder weg, aber das ist doch vollkommen egal, auf welche Seite man das jetzt hinschreibt und ob nun 1/2 oder 0,5 - das ist reine Geschmacksache. Wink

Ganz genau. Es entspricht aber eher der natürlichen Sprechweise, wenn ich nach x gefragt werde und ich beginne mit "x ist gleich...", als wenn ich sage "Null Komma 5 k ist gleich x".

Mein Geschmack ist es nicht. Wenn es deiner ist, mach' es so.

15.11.2014, 19:12

Mathema

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Hmm - da sixty-four als Ersthelfer kein Wort zu deiner Ableitungsfunktion verliert, frage ich noch einmal:

Soll in der Klammer eine 5 stehen, oder hast du dich da wieder nur verschrieben?

Ich ziehe mich nun wieder aus diesem Thread zurück.

Wink

15.11.2014, 19:18

Miyano

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Ohje...es tut mir Leid, ich merke gerade selbst nicht wie ich diese 5 in die Ableitung bekommen habe. Ich übe heute bereits gut 3 Stunden und ich merke bereits wie meine Konzentration nachlässt. Ich habe alle 3 Ableitungen gebildet und diese sehen so aus:

fk'(x) = -e^-x(2x-2+k)
fk''(x) = e^-x(2x-4+k)
fk'''(x) = -e^-x(2x-6+k)

Ich sehe bereits dass die Aufgabe noch eine handvoll Hürden für mich mit sich bringt, ich werde nun schauen wie weit ich selbst komme.

15.11.2014, 19:31

sixty-four

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Zitat:

Original von Mathema
Hmm - da sixty-four als Ersthelfer kein Wort zu deiner Ableitungsfunktion verliert...

Du kannst bei mir jederzeit einspringen, wenn du schneller bist. Ich habe damit kein Problem, da ich außer Internet-Foren auch noch andere soziale Kontakte pflege.

Zitat:

Original von Mathema
Ich ziehe mich nun wieder aus diesem Thread zurück.

Musst du nicht! Bleib ruhig dabei, zu zweit ist es lustiger.

15.11.2014, 19:53

Miyano

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Ich konnte nun dank euch die Nullstellen, Hochpunkte und Wendestellen an der Schar zeigen. Jetzt bin ich zum nächsten Aufgabenteil gegangen die nun die Funktion verlangt, die alle Extrempunkte der Schar bilden.

Aus dem letzten Aufgabenteil ergab sich als Hochpunkt: H( $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2} k|-2e^{-1+1/2k} \end{eqnarray*}$ ) Mit x und y hier konnte ich k quasi eliminieren und habe am Ende y= $\begin{eqnarray*} -2e^{-x} \end{eqnarray*}$ erhalten, ist das so richtig? Ich habe leider keine Lösung zu diesen Aufgaben, sonst würde ich es vermeiden wegen jeder Kleinigkeit hier einen Beitrag zu verfassen, ich danke jedem der mir hier hilft Gott