Fragen zu den Integralen

15.11.2014, 19:20

Jator08

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Fragen zu den Integralen

Hallo,

ich bräuchte bitte Hilfe zu den Integralen. Und zwar habe ich ein paar Aufgaben, bei denen ich nicht weiß, warum man das so macht.

Aufgabe 1:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{2}{\sqrt[3]{x} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! 2*x^{-3} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{1^{\frac{2}{3} } }{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x²} \end{eqnarray*}$ -----> Ist das richtig? Wenn ja, wieso schreibt man da das so? Also wie löst man den Doppelbruch von oben auf?

2. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{4}{7} x^{-\frac{2}{3} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{4}{7} *\frac{x^{\frac{1}{3} } }{\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12}{7} *\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ -----> Ist das richtig? Wenn ja, wieso dann 12/7 und nicht 4/7 ?

3. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (\frac{2x²}{5} + \frac{7x}{6} + \frac{2}{3}) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{5}*\frac{x^{3} }{3} + \frac{7}{6}*\frac{x²}{2} + \frac{2}{3} *x \end{eqnarray*}$ -----> Ist das richtig? Wenn ja, wie gehts dann weiter? Muss ich auf gemeinsamen Nenner bringen?

4. Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\frac{\pi }{2} \! sin(x)\, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-cos(\frac{\pi }{2} )] - [-cos(0)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$ -----> Ist das richtig? Wenn ja, wie kommt auf diese Zahl? Weil wenn ich das mit -cos in den Taschenrechner eingebe, kommt was anderes raus. :/

Danke!

15.11.2014, 19:39

mYthos

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Zunächst ad 1)

$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\sqrt[3] x} \neq x^{-3} \end{eqnarray*}$

---------------------------

Dann:

Ad 2)

Richtig.

Bei $\begin{eqnarray*} \frac 4 7 : \frac 1 3 \end{eqnarray*}$ muss mit dem Kehrwert multipliziert werden (Division durch einen Bruch!)

Ad 3)

Stimmt so weit, gemeinsamer Nenner schadet nicht!

Ad 4)

1 stimmt. Wie das zustande kommt, solltest du durch richtiges Einsetzen herausfinden können.
Offensichtlich macht du bei der Berechnung mittels des TR einen Fehler ...

15.11.2014, 20:17

Jator08

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Danke für deine Antwort!

Nr. 1)
Ja, habe ich gerade bemerkt. Es müsste $\begin{eqnarray*} x^{-\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$ sein. Beim nächsten Schritt habs ich dann richtig gemacht. Aber meine Frage ist leider noch nicht beantwortet. Wie löst man einen Doppelbruch auf? :/

Nr. 2)
Okay danke. Aber warum bezieht sich das 1/3 unter dem Bruchstrich nicht auf das x ?

Nr. 3)
Dann müsste der gemeinsame Nenner ja 30 sein, oder? Und muss ich beim letzten x einen Bruchstrich machen? Also $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1} \end{eqnarray*}$

Nr. 4)
Also ich weiß dass cos (0) = 1 ist. Aber davor steht ja auch noch was. Das mit Pi :/

15.11.2014, 20:57

mYthos

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1)
ist dennoch falsch, denn anstatt x hast du dann 1 stehen ..

----------------

Bruchauflösung (Division) habe ich dir doch geschrieben, bitte lesen!

2)
1/3 hat mit x nichts zu tun, der Bruchterm soll einfach durch 1/3 dividiert werden! Was passiert dann?

3)
(2/3)*x = (2x)/3 und das ist auch auf den Nenner 30 zu bringen.

4)
Welchen Wert hat cos(pi/2)?

mY+

15.11.2014, 21:22

Jator08

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1)
Ja ich habe 1, weil der Integral ja von 0 bis 1 geht. Für x muss man dann ja 1 einsetzen?!
Wie geht diese Bruchauflösung? unglücklich

unglücklich

2)
Ja, dann kommt 12/7 raus. Aber warum hat 1/3 nichts mit x zu tun?

3)
Okay danke.

4)
0,999624216

15.11.2014, 22:13

mYthos

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1)
Ja, zuerst das Integral in x schreiben (das hast du erst unten geschrieben), dann 1 bzw. 0 einsetzen, ist ok

2)
Das 1/3 unter dem Bruch heisst doch nur, dass durch 1/3 zu dividieren ist, ob oben x oder etwas anderes steht, ist nicht von Belang.

4)
cos(pi/2) hast du so nicht richtig berechnet. Du musst für pi den kompletten Wert einsetzen, nicht etwa 3,14.
Überdies solltest du die sin- und cos-Werte besonderer Winkel schon im Kopf haben, oder sie reproduzieren können.
Wo haben sin und cos ihre Nulldurchgänge, wo sind sie 1? --> Einheitskreis oder Graph!

Und letztendlich:
Du fragst immer dasselbe und du hast doch die Antwort, wie man durch einen Bruch dividiert. Es steht doch lange in einem der Beiträge.
Was ist also (4/7) : (1/3) nun wirklich?

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac a b} {\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \ldots \end{eqnarray*}$
Bei Doppelbrüchen kann man sich auch an ein Gesetz für die Innen- und Außenglieder erinnern ...

mY+

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15.11.2014, 23:41

Jator08

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Nr.1)
Ich probier hier mal die Auflösung des Doppelbruchs.
1^2/3 ist ja nichts anderes als "1".
Also: 3/3 (=1) * 3/2 laut deines Beitrags, oder? Aber das ist dann doch nicht die 3. Wurzel aus x^2 ?!

Nr.2)
4/7 : 1/3 = 4/7 * 3/1
Jetzt muss ich dann ja nur noch Zähler und Zähler multiplizieren, und Nenner und Nenner multiplizieren. Also 12/7

Nr.4)
Hab auf meinem TR das Pi Symbol, ich geb nicht nur 3,14 ein. Wenn ich das so rechne, kommt 0,9996 raus. :/

15.11.2014, 23:46

Mathema

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Zitat:

Original von Jator08

Nr.4)
Hab auf meinem TR das Pi Symbol, ich geb nicht nur 3,14 ein. Wenn ich das so rechne, kommt 0,9996 raus. :/

Dann stelle deinen Taschenrechner mal schnell ins Bogenmaß um, wenn mit trigonometrischen Funktionen gerechnet wird!

Wink

Wink

16.11.2014, 00:50

mYthos

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Welches Problem besteht noch bei 1) ?
Dort war ja für x = 1 einzusetzen, jegliche Potenz davon ist ja auch wieder 1, auch die 3. Wurzel aus dem Quadrat. Und dies ist nun noch durch 2/3 zu dividieren, was kommt da heraus?

mY+

16.11.2014, 11:15

Jator08

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Meine ursprüngliche Frage zu Nr.1) war, wie man einen Doppelbruch auflöst.

Du hast das als Tipp geschrieben:

Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} \frac {\frac a b} {\frac c d} = \frac a b \cdot \frac d c = \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

Dann habe ich es vorhin mit diesem Tipp versucht. Hier die Aufgabe nochmal:
$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{1^{\frac{2}{3} } }{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Mein Versuch (mit deinem Tipp von oben)

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{3}{3} \end{eqnarray*}$ ---> weil $\begin{eqnarray*} 1^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ ja nichts anderes ist, als "1". 1 kann man auch als $\begin{eqnarray*} \frac{3}{3} \end{eqnarray*}$ anschreiben.

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{3}{3} : \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{3}{3} * \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ---> Jetzt Zähler*Zähler und Nenner*Nenner

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{9}{6} \end{eqnarray*}$ ---> Das kürze ich durch 3.

Endgültige Lösung: $\begin{eqnarray*} 2 * \sqrt[2]{x^{3} } \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

16.11.2014, 20:47

Equester

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Ich spring mal für mYthos ein.

Schon dein erster Umformungsschritt passt nicht. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} 1^{\frac23} = 1 \end{eqnarray*}$
Schreib das mal so hin. Was steht dann da? Wende dann den Hinweis von mYthos an.

16.11.2014, 20:55

Jator08

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Achso, das ist dann nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} 2 * \frac{1}{1} : \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{1}{1} * \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Ist aber dann trotzdem wieder $\begin{eqnarray*} 2 * \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

:/

16.11.2014, 21:08

Equester

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Wieso "wieder"? So ists richtig.
Und was ergibt das?

16.11.2014, 21:15

Jator08

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$\begin{eqnarray*} 2 * \sqrt[2]{x^{3} } \end{eqnarray*}$

16.11.2014, 21:16

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt denn das x geschockt

geschockt

. Du hast doch die Grenzen schon eingesetzt?

16.11.2014, 21:26

Jator08

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Achso dann 6/4.

Aber hab nur noch eine andere Frage: Wenn ober und unter dem Integral keine Zahl steht, muss ich dann für x irgendwas einsetzen?

16.11.2014, 21:35

Equester

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Wieso 6/4?

Was ist $\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac32 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn keine Grenzen gegeben sind, dann schreibst du das mit einem +c, oder in eckigen Klammern.

Also
$\begin{eqnarray*} \int x = [\frac12x^2] = \frac12x^2 + c \end{eqnarray*}$

Wie es dir beliebt.

16.11.2014, 21:50

Jator08

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Achso, ich sehe gerade dass ich die 1. Aufgabe falsch aufgeschrieben habe.

Es müsste das $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\sqrt[3]{x} } \end{eqnarray*}$ mit unbegrenztem Integral sein.

16.11.2014, 21:53

Equester

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Machen wir also nochmals langsam:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx \end{eqnarray*}$

Zur "alten" Aufgabe noch: $\begin{eqnarray*} 2\cdot\frac32 = 3 \end{eqnarray*}$
Man kann kürzen. Das sollte eigentlich kein Problem sein! Grundlage Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.11.2014, 22:06

Jator08

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$\begin{eqnarray*} 2 * x^{-\frac{1}{3} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 * \frac{x^{\frac{2}{3} } }{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Muss ich die 2 jetzt durch 2/3 dividieren?

16.11.2014, 22:10

Equester

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Soweit ist das richtig.

Nun vereinfache.

16.11.2014, 22:16

Jator08

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Wie macht man das denn jetzt? :/

16.11.2014, 22:20

Equester

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Eigentlich nicht anders wie vorher.

Schreibe:

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{x^{\frac23}}{\frac23} = \frac{2}{\frac23}x^{\frac23} \end{eqnarray*}$

Der erste Faktor sollte dir nun bekannt vorkommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.11.2014, 22:26

Jator08

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$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1} : \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{1} * \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 3 \end{eqnarray*}$

16.11.2014, 22:27

Equester

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Nun ists richtig smile

smile

.

Also insgesamt: $\begin{eqnarray*} 3x^{\frac23} = 3\sqrt[3]{x^2} \end{eqnarray*}$

Bin nun allerdings selbst im Bett, falls noch was ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

16.11.2014, 22:34

Jator08

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Danke

smile

Nein, brauch nichts mehr. Jetzt sind alle Aufgaben klar Wink

Wink

16.11.2014, 22:36

Equester

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Umso besser^^. Gute Nacht,

Wink

Wink

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