Lebesgue-messbare Mengen |
15.11.2014, 20:05 | Henry_Baguette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Lebesgue-messbare Mengen Hallo Leute, folgende Aufgabe: Sei . Zeigen Sie: Die Bedingungen i) ist Lebesgue-messbar. ii) Es existieren (Potenzmenge), so dass und . iii) Es existiert , so dass . sind aequivalent. Wobei Meine Ideen: Nicht viele, ehrlich gesagt und das obschon ich bereits ziemlich viel Zeit inverstiert habe.. Bspw. wurde der Vorlesung gesagt, dass jede -messbare Funktion Lebesguemessbar sei. Nun hab ich hier aber weder eine sigma algebra noch eine Funktion f gegeben. Von den Assistenten gab es als Tip, dass man "einfach die Definitionen anwenden" soll. Leider blick ich hier nicht durch. |
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16.11.2014, 02:09 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hallo, ich nehme mal an, ihr habt bereits die Regularität des Lebesguemaßes ? Für den Schritt solltest du dir mit Hilfe der Regularität erstmal eine Folge abgeschlossener Mengen hernehmen mit für alle und . Dabei kannst du die aufsteigend wählen (warum?). Was ist dann ? Bringt dich das schon weiter? Edit: Mit messbaren Funktionen hat das übrigens nicht viel zu tun. |
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16.11.2014, 13:58 | Henry_Baguette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja hatten wir.
Der Fall einer absteigenden Folge, kann immer auf den Fall einer aufsteigenden Folge zurueckgefuehrt werden. Wenn ich mich recht erinnere.
Müsste gelten.
Es hilft, mich in die Aufgabe reinzudenken. heisst, gemaess einem Satz in meinem Skript, dass Lambda-Stern messbar ist. Was aber kann ich mit der Information anfangen? |
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16.11.2014, 16:17 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du meinst hier sicherlich, dass der Fall einer nicht aufsteigenden Folge (das muss nicht eine absteigende Folge sein) in eine aufsteigende Folge transformiert werden kann. Ja, das ist richtig. Dir sollte aber auch klar sein, wie das geht
Nein, das ist nicht richtig. Die sind ja nicht disjunkt. Ganz im Gegenteil, es handelt sich ja um eine aufsteigende Folge. Schau dir dazu mal die Eigenschaft "Stetigkeit von unten" des Lebesguemaßes an.
Das heißt eigentlich bloß, dass keinen sonstigen Restriktionen unterliegt (abgesehen davon, dass es Nullmenge ist), es soll einfach eine beliebige Teilmenge von sein. |
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16.11.2014, 17:13 | Henry_Baguette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das kriege ich hin, glaube ich.
Mann mann mann, Masstheorie macht mich echt fertig. In dieser Aufgabe bezeichnet das lebesgue mass. Und das lebesgue aussere Mass. Da nun mein A_1 in F_sigma ist, kann ich eine aufsteigende Folge waehlen, mit Dann ist . Das ist sogar intuitiv klar. Das lebesgue Mass ist sigma Additiv, das lebesgue aeussere Mass ist sigmasubadditiv, richtig? oder bringe ich wieder alles durcheinander? Mit Stetigkeit von unten meintest du aber wahrscheinlich, dass wenn Es verwirrt mich, dass ich in dieser Aufgabe zweimal das aeussere lebesgue mass drin stehen hab, aber zeigen soll, dass A lebesgue messbar ist. |
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16.11.2014, 17:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube du missverstehst da etwas. Wir wollen unter der Annahme von (i) die Gültigkeit von (ii) zeigen. Das heißt du musst die Mengen, die in (ii) angegeben sind, selbst konstruieren. Die sind nicht irgendwie vorgegeben. Die Lebesguemessbarkeit von kannst du für diesen Teil aber sehr wohl annehmen. Wir setzen (i) voraus und zeigen damit (ii). Ok? Deshalb können wir doch überhaupt nur eine solche Folge wählen (die ich im 1. Beitrag vorgeschlagen habe).
Du meinst hier denke ich das richtige. Die Vereinigung soll denke ich über alle gehen? Und dahinter ist es ungünstig, als Index für die zu wählen, weil schon als Index des Maßes auftritt. Wir haben also . Dieser Limes tauchte aber vorher schonmal auf, nämlich wo? Was sagt uns das? |
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16.11.2014, 18:28 | Henry_Baguette | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke!! das war heute vermutlich die wichtigste Lektion. Jedenfalls weiss ich jetzt was ich eigenlich machen soll okay, und da die K_i alle abgeschlossen gewaehlt sind, entspricht das genau der Konstruktion von diesem aus jetzt bleibt "nur" noch dieses A_2. Kann ich nun sagen, wenn ich davon ausgehe, dass A lebesgue messbar ist, dass es (nach definition) ein geben muss mit geht das in die richtige Richtung? |
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16.11.2014, 18:39 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, das gilt sogar für alle Mengen , auf diese Weise kommen wir nicht weiter Wenn wir wählen. Und sein soll. Was für eine Wahl von würde dann Sinn machen? Kleiner Zusatzhinweis: Das geht so nur, wenn endlich ist. Ich würde diesen Fall mal zuerst bearbeiten und danach überlegen, was passiert, wenn dem nicht so ist. |
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