exakte sin-cos werte berechnen

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akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
exakte sin-cos werte berechnen
hi,
ich benötige wieder mal hilfe.

ich soll die exakten werte von
, , ,
berechnen.

tipps sind:
und ,

fangen wir mit

klappt das?


bei
dachte ich an den pythagoras
ich erhalte dann

nun weiß ich nicht was ergibt.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Euler-Identitäten würde ich hier gar nicht arbeiten.
Benutze doch die noch elementareren Zusammenhänge aus dem Tipp oder eigentlich noch einfacher, male dir ein gleichschenklig-rechtwinkliges, so wie auch ein gleichseitiges Dreieck. Damit geht es eigentlich schon direkt.

Mache dir dafür vielleicht auch klar, was die im Bogenmaß gegebenen Werte in Gradmaß sind.
 
 
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ich soll aber rechnen
reichen die tipps die angegeben sind um alle werte auszurechnen?
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »



ich komme doch hier an dem schritt nicht weiter.
denn wenn ich unterstelle, ich wüsste was der cosinus unter der wurzel ist, dann hätte ich mir die ganze rechnung sparen können und das ergebnis von anfang an nennen.
HILFE
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dir berechnen möchtest, dann solltest du mal mit einer Gleichung starten:





Nutze nun:



und substituiere

Dann kannst du x ausklammern und erhält eine biquadratische Gleichung die du lösen kannst. Viel Spaß dabei.

Wink
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Naja, ob man das nun wirklich benutzen darf/soll (siehe Tipps der Aufgabenstellung) ?

Zitat:
ich soll aber rechnen


Rechnen muss man bei der "Dreieck-Methode" (wobei das ja nur zur Skizze dient) natürlich auch, wenn auch nicht gerade viel. Augenzwinkern

Wenn du es dennoch anders machen willst, dann kannst du ja mal versuchen jeweils eine Gleichung mit den beiden Tipps aufzustellen:

Zitat:
tipps sind: ,


Denk dabei auch an sowas wie
oder auch
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Naja, ob man das nun wirklich benutzen darf/soll (siehe Tipps der Aufgabenstellung) ?


Hmm - vermutlich hast du recht.

Dann ist es wohl doch besser du hältst dich an die Tipps der Aufgabe (und Bjoerns weitere Ausführungen), da war mein Beitrag wohl etwas vorschnell - entschuldige bitte.

Trotzdem viel Erfolg und Spaß weiterhin!

Wink
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab echt keine ahnng wie das geht.

das mit dem erweitern habe ich in meinen übungblätttern auch gesehen aber ich versteh den sinn nicht.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit erweitern ?

Führe meine obigen Ansätze doch mal weiter bzw versuche es.
Los gehts hiermit:

Zitat:


Was könnte man denn nun noch aus der linken Seite "gemäß Tipp" machen ?
Und sobald man dann was mit Sinus (oder quadriertem Sinus) da stehen hat, kann man ja dann auch das hier benutzen:

Zitat:
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982 Was meinst du mit erweitern ?



Zitat:
Original von Bjoern1982
Führe meine obigen Ansätze doch mal weiter bzw versuche es.
Los gehts hiermit:
Zitat:

Was könnte man denn nun noch aus der linken Seite "gemäß Tipp" machen ?

Hoffentlich möchtest du darauf hinaus.
und dann

bzw. folgern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Das ist gut (die Schlussfolgerung danach brauchen wir nicht und ist wegen der zweiten Lösung auch unvollständig).

Nun benutze

damit wir jetzt endlich auch den Winkel bzw das Bogenmaß pi/4 ins Spiel bringen.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Nun benutze

damit wir jetzt endlich auch den Winkel bzw das Bogenmaß pi/4 ins Spiel bringen.




meinst du es so?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wäre es doch mal Zeit für das hier:

Zitat:
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Jetzt wäre es doch mal Zeit für das hier:

Zitat:

OHja


d.h.

Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »



So, jetzt nochmal Klammer auflösen und dann nur noch dafür sorgen, dass in der Gleichung NUR noch der Sinus oder Kosinus steht.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »



ob quadriert oder nicht, ist doch egal? aber genau die zwei werte habe ich doch nicht!!! auf sowas ähnliches bin ich mit dem trigo. pythagoras auch gekommen
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt steht es ja schon fast da, lös die Gleichung jetzt nach sin(pi/4) auf.

Edit: Jetzt hast du editiert, dann passt das natürlich nicht mehr, was ich schrieb.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

das vorher war ja falsch. ich habe flasch kopiert.

jetzt sollte es stimmen. aaber jetzt habe ich genau die zwei werte die ich eigentlich suche- sackgasse?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich gleich weg sein werde, hier noch mein letzter Hnweis, nach welchem hoffentlich klar wird, wie der Hase läuft:

akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

hey irgendwie fühle ich mich verarscht.
auch das hatte ich auch schon. aber was bringt mir denn das? ich benötige doch blöde cos pi/4. die ständige umformerei bringt mich doch nicht dahin
Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »

Doch bringt sie. Vertrau dem Sachverstand hier.

Substituiere x = cos(pi/4)^2 und löse die Gleichung.

(1-x)*x = x-x^2 = 1/4


pq formel anwenden auf x^2 -x +1/4 = 0 und du cos^2.

1/2 +- sqrt(0) = 1/2 = cos(pi/4)^2

-> cos(pi/4) = 1/sqrt(2)
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Von wem ?
Verarschen tust du dich vielleicht selbst, ich tue es nicht.
Ich zeig dir einfach nur wie man die Aufgabe löst, mehr nicht.
Wenn du mir das nicht glaubst, dann kann ich dir leider nicht helfen und dann musst du das irgendwie alleine machen oder jemand anderen fragen.
Bedenke jedoch, dass nur weil DU noch nicht verstehst, zu was das hier führt (obwohl schon mehrmals von mir ausgeführt), bedeutet das nicht automatisch, dass das hier alles für die Katz ist. Augenzwinkern

Schau es dir doch morgen nochmal in aller Frische an.

Zitat:
Substituiere x = cos(pi/4)^2 und löse die Gleichung.


Das ist gar nicht nötig, da steht nachher eine simple binomische Formel mit (cos²(pi/4)-0,5)²=0
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ok jetzt ist das rätsel gelöst. das ist aber immer eine verzwickte situation mit dem erkennen des substituieren. wie kann man sowas nur erwarten^^

ok, jetzt kann ich beruhigt schlafen gehen, ciao

@björn.

jetzt entspann dich mal. was greifst du mich so an. ich glaube dir jedes wort. dass ich mich selbst verarsche braucht mir auch niemand sagen. aber es langweilt mich, dass ich für so eine aufgabe so viel zeit aus dem fenster schmeiße. auf das substiuieren wäre ich in 100 jahren nicht drauf gekommen.
also dann gute nacht
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin völlig entspannt. Freude
Ich verstehe nur nicht, warum du mir ständig sagst "ja und, das weiß ich doch und hatte ich schon - was bringt mir das, das bringt doch alles eh nix".

Und wie oben erwähnt, eine Substitution ist möglich aber NICHT notwendig, das ist eine ganz einfache binomische Formel.
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982Ich verstehe nur nicht, warum du mir ständig sagst "ja und, das weiß ich doch und hatte ich schon - was bringt mir das, das bringt doch alles eh nix".


ich bin nicht untätig. ich habe hunderte von umformungen vorgenommen, aber was bringt mir das, wenn ich den letzten entscheidenden schirtt nicht erkenne? aber ich muss dennoch reinräumen, dass du bis zu einem gewissen grad recht hast mit dem vorwurf=)

edit: ich habe jetzt schon gemerkt, dass bei , der gleiche rechenweg nicht funktioniertBig Laugh
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So wirklich verstehen tu ich deine Gedankengänge/Argumentationen nicht, aber sei es drum - Hauptsache du konntest am Ende nachvollziehen, wie du auf die Lösung kommst.
Und wenn du das morgen vielleicht nochmal in Ruhe durchliest, dann wird dir vielleicht ja auch klar, dass ich in der Tat auch begründe, warum hier bestimmte Schritte stattfinden und diese eben nicht einfach vom Himmel fallen.

Viel Erfolg weiterhin und eine gute Nacht Wink
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
auf das substiuieren wäre ich in 100 jahren nicht drauf gekommen.


Nun ja - so ganz neu hätte der Gedanke einer Substitution auch nicht sein dürfen, ich habe ihn bei meiner Rechnung ja auch benutzt.
Das soll nun aber überhaupt kein Vorwurf sein, zu dieser Zeit in der ihr noch gerechnet habt, da würde ich auch wenig (bis keine) Ideen produzieren können. Augenzwinkern

Dann viel Erfolg für deinen Sinus und einen schönen Sonntag!

Wink
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

hi Wink

bei , funktioniert der ansatz aber nicht, oder?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Werte sin(60°) und cos(60°) exakt zu berechnen, zeichne dir ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlängen a=1. Alle 3 Winkel haben offenbar 60°. Zeichne in das Dreieck die Höhe h ein. Diese teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit folgenden Seitenlängen





Die Höhe ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Die Winkel in den beiden rechtwinkligen Dreiecken betragen

30°,
60°,
90°

Innerhalb der 2 rechtwinkligen Dreiecke gelten folgende Definitionen






Da wir alle 3 Seiten der rechtwinkligen Dreiecke kennen (Siehe oben), können wir damit folgende 4 Werte exakt berechnen:

sin(30°), sin(60°), cos(30°), cos(60°)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Nachdenken über diese grundlegende Definition

Zitat:
Original von Ehos



im rechtwinkligen Dreieck führt übrigens sofort zur Symmetrie



und damit für zu , was so manche überlange Rechnung im ersten Teil des Threads erübrigt hätte. Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Den elementaren "Dreieck-Ansatz" hatte ich bereits in meinem ersten Beitrag erwähnt.
Da man die Aufgabe jedoch wohl ausschließlich mit den gegebenen Tipps lösen soll und ein solcher Weg auch vom Fragesteller gewünscht war, haben wir uns auch bewusst daran gehalten und keinen eleganteren Beweis genutzt.

Ob man für pi/3 allerdings auch alleine hiermit - und wirklich nur damit - zum Ziel kommt:

Zitat:
und ,


Darüber könnte man evtl noch diskutieren, ich zumindest sehe das auf Anhieb jetzt nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn da steht "Tipp", dann ist das m.E. eben nur Tipp, und nicht etwa Zwang, sich absichtlich dummzustellen und nur mit diesen Tipp-Gleichungen auszukommen. Wenn das der Aufgabensteller will, dann muss er das als Funktionalgleichung formulieren statt mit sin/cos. Augenzwinkern


Also etwa so dann:

Zitat:
Berechne .

Gegeben:

Aber das würde auch nicht ganz reichen, selbst für die Berechnung von nicht, man würde zumindest noch sowas wie für benötigen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn da steht "Tipp", dann ist das m.E. eben nur Tipp, und nicht etwa Zwang


Wenn das wirklich so gemeint ist, dann kann akamanston dann ja auch irgendeinen "Einzeiler-Beweis" benutzen (Herangehensweisen gibt es hier ja mehr als genug).
Ich verstehe zwar nicht, warum dann extra genau diese 3 Tipps da stehen (das hätte man sich ja schenken könnnen, da sowas in jeder Formelsammlung steht oder vielleicht sogar jedem Schüler klar ist), aber dann erkundige dich doch mal bei deinem Dozenten oder Übungsleiter, wie "frei" das nun angegangen werden soll, akamanston. Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fakt ist, dass in der von mir oben angegeben Umformulierung als Funktionalgleichung die Werte und nicht eindeutig aus den angegebenen Eigenschaften abgeleitet werden können. Wenn man statt das umfassendere angegeben hätte, würde die Sache besser aussehen.
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Fakt ist, dass in der von mir oben angegeben Umformulierung als Funktionalgleichung die Werte und nicht eindeutig aus den angegebenen Eigenschaften abgeleitet werden können.

Intuitiv ist das ziemlich klar, stützt du darauf deine Behauptung oder hast du das auch bewiesen? (aus Neugierde, ohne jetzt anmaßend sein zu wollen ^^)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nur eine gegebene Eigenschaft, die Bezug auf verschiedene Argumente liefert, nämlich und nur einen konkret gegebener Wert . Damit kann man also allenfalls sowie für irgendwelche ganzen Zahlen ausrechnen, aber für keine anderen Argumente. unglücklich
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