Topologie: Stetigkeitskriterium beweisen

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TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Stetigkeitskriterium beweisen
Hallo liebe Community, Wink

ich komm bei folgender Aufgabe einfach nicht mehr weiter. Es handelt sich um die letzte Aufgabe meiner "Hausaufgaben" und bin wirklich verzweifelt weil ich nicht mehr weiter weiß.

Folgendes Problem:

Angenommen ist eine Funktion, dann soll folgende Aussage wahr sein:

abgeschlossen ist abgeschlossen. Freude

Idee:

Also ich hab mir erstmal die Epsilon-Delta-Definition für Stetigkeit auf das Blatt geschrieben.

Außerdem habe ich mir Begriffe wie "Ball", "Randpunkt" oder "Rand" definiert.

Zu guter Letzt habe ich noch gesagt, dass eine Menge abgeschlossen heißt, falls der Rand von auch Teilmenge von ist.

ist offen g.d.w. ohne abgeschlossen ist

Jetzt müsste offensichtlich der eigentliche Beweis beginnen.

Da man eine Äquivalenz zeigen muss habe ich mir überlegt zuerst die Rückrichtung und dann die Hinrichtung zu zeigen... nur wie? Wie verbinde ich all diese Informationen richtig miteinander? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Stetigkeitskriterium beweisen
Zitat:
Original von TTkachu
abgeschlossen ist abgeschlossen. Freude

Was genau soll das heißen?
Am Anfang steht wohl .
Aber was bedeutet ? verwirrt
 
 
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Stetigkeitskriterium beweisen
Das "C hoch Null" sozusagen steht für "Steig auf R" und "f hoch ur" ist das "Urbild"
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Stetigkeitskriterium beweisen
Ach nee schuldigung... hab ein Zeichen falsch interpretiert....vergiss das mit dem c null... die linke Seite von der Äquivalenz sollte man erstetzen durch "f ist stetig"
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist, ist mir schon klar. Ich wollte dich nur darauf hinweisen, dass man dann schreibt, und nicht . smile

Ihr schreibt für das Urbild von Z? verwirrt Eigentlich benutzt da jeder .

Ich denke, es ist einfacher, wenn du zuerst zeigst, dass genau dann stetig ist, wenn Urbilder offener Mengen offen sind, und dann daraus schlussfolgerst, dass genau dann stetig ist, wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind (so wurde das jedenfalls in allen Beweisen gemacht, die ich gesehen habe).

Am einfachsten zeigt man die Äquivalenz mithilfe der -Definition der Stetigkeit, und der Definition von offenen Mengen, dass es zu jedem Punkt eine Kugel um diesen Punkt gibt, die noch ganz in der Menge liegt.
Du nimmst also zuerst eine offene Menge und zeigst, dass offen ist. Irgendeine Idee?

Edit: bedeutet ja das selbe wie " ist stetig." Es ist also egal, was man da nun schreibt.
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Ihr schreibt für das Urbild von Z? verwirrt Eigentlich benutzt da jeder .


Hahaha, tut mir leid falls ich dich verwirrt habe. Das ist meine persönliche Notation um das Urbild besser von der Umkehrfunktion zu unterscheiden.... Big Laugh

- Ok - Guter Vorschlag. Lass uns loslegen.

Wenn offen, dann könnte ich mir ein anschauen, sodass ... und weiter verwirrt ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst jetzt zeigen, dass offen ist, d.h. dass es zu jedem ein gibt, sodass gilt.
Wenn also ist, dann ist . Was kannst du jetzt aufgrund der Offenheit von sagen? Und was folgt daraus mithilfe der Stetigkeit von ?
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
"Was kannst du jetzt aufgrund der Offenheit von sagen?"


Weil offen ist, ist auch eine Umgebung von

Zitat:
"Und was folgt daraus mithilfe der Stetigkeit von ?"


Gute Frage.... Es muss also gelten
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Dass eine Umgebung von ist, stimmt zwar, bringt uns hier aber nicht sonderlich viel.

Zitat:
Original von TTkachu
Es muss also gelten

So sieht die Definition aber nicht aus. geschockt

Man kann sagen: Es gibt ein , sodass (weil offen ist).
Wenn du jetzt noch die (korrekte) -Definition der Stetigkeit benutzt, bist du schon fast fertig.

PS: Ich bin jetzt weg; bis morgen. Wink
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke dann, xao! smile

--------------------------------------------------

Die korrekte Definition lautet natürlich:



--------------------------------------------------


Edit: Es soll natürlich kleiner als delta heißen


--------------------------------------------------

Folgt daraus etwas dass

??


4 Beiträge zusammengefügt - Guppi12
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Das war aber jetzt nur die Hinrichtung für offene Mengen, nicht wahr?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TTkachu
Folgt daraus etwas dass

??

Du hast noch nicht geschrieben, was mit dem sein soll. Außerdem ist definiert als .
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Zitat:
Original von TTkachu
Folgt daraus etwas dass

??

Du hast noch nicht geschrieben, was mit dem sein soll. Außerdem ist definiert als .


Meinst du etwa dass "Aus stetigkeit folgt: "?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das folgt daraus nicht; du musst schon etwas genauer sagen, was du meinst.

Aus der Stetigkeit folgt: Es existiert ein , sodass , falls .
Oder anders gesagt: Es gibt ein , sodass , für alle .
Und daraus folgt: .
D.h. ist im Urbild von A enthalten. Damit haben wir also für jedes gezeigt, dass es eine Kugel um gibt, die noch vollständig im Urbild von A liegt, was nichts anderes bedeutet, als dass das Urbild von A offen ist.
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Aber das war doch jetzt nur eine Implikation in eine Richtung, nicht wahr? Oder ist das schon eine Äquivalenz? Ich glaube ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr... verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Äquivalenz haben wir noch nicht gezeigt.

Es bleibt noch die Richtung .
Um zu zeigen, dass in stetig ist, nimmst du eine Kugel (diese Menge ist offen); d.h. deren Urbild ist nach Voraussetzung auch offen.
Wenn du diese Informationen noch richtig zusammensetzt, dann erhältst du damit die Stetigkeit von in .
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich versuche es mal. Freude

"Für offen, ist offen."

Wähle

Dann nehme ich mir ein , d.h. .

Nach Voraussetzung gilt also dass offen,

d.h. es gibt ein sodass

ist stetig auf da das bedeutet dass ???
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus.
Noch drei Bemerkungen:
Zitat:
Original von TTkachu
Wähle

Besser wäre .

Zitat:
Original von TTkachu
Dann nehme ich mir ein , d.h. .

Diese Zeile am besten ersatzlos streichen. Augenzwinkern
Bzw. stattdessen folgendes schreiben: Wegen ist

Wenn du das noch änderst, dann ist der Beweis so richtig.

Zitat:
Original von TTkachu


Diese Notation macht nicht so richtig viel Sinn.
Entweder schreibst du:
oder
smile
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Vielen Dank ! Das motiviert mich! Zur Abwechslung habe ich es geschafft mal etwas zum Teil richtig zu machen! Vielen Dank! smile

Und wie komme ich jetzt auf meinen eigentlichen Beweis zurück? Ich muss ja zeigen dass des für abgeschlossene Teilmengen gilt...

Darf ich dafür Benutzen dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist wenn das Komplement offen ist?

Muss ich da auch beide Richtungen beweisen oder schafft man es sofort eine Äquivalenz herzustellen? Tanzen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TTkachu
Darf ich dafür Benutzen dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist wenn das Komplement offen ist?

Genau das kenne ich als Definition von abgeschlossenen Mengen.

Du musst zeigen, dass für die Funktion gilt:


Dazu brauchst du auch noch die Aussage, dass für alle gilt: (lässt sich relativ schnell beweisen).
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

(Versuch-)Beweis "Lemma"



(Klötzchen)

Und jetzt lasse ich das etwa auf meine offenen Mengen los? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Also definiere mir die Menge als

Da offen, folgt aus der Definition, dass das Komplement von abgeschlossen ist.

Insbesondere gilt dann mit dem Lemma abgeschlossen

Da wir ja schon gezeigt haben dass offen ist..

Bewiesen ? *.* ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TTkachu
Da offen, folgt aus der Definition, dass das Komplement von abgeschlossen ist.

ist doch schon das Komplement von , das Komplement von wäre dann wieder . Du meintest bestimmt, dass abgeschlossen ist.

Zitat:
Original von TTkachu
Insbesondere gilt dann mit dem Lemma abgeschlossen

Da wir ja schon gezeigt haben dass offen ist..

Man sollte da vielleicht noch ergänzen, was ist.
Damit hast du jetzt gezeigt: Wenn Urbilder offener Mengen offen sind, dann sind Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen.

Fehlt noch die andere Richtung (wobei die genauso funktioniert).
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

1) Entschuldigung das "von" war zu viel.

2) Sei abgeschlossen dann ist offen.

Insbesondere gilt: offen

Da geschlossen ist..?
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

f^{ur}(\mathbb{R}) st doch das Urbild von f(\mathbb{R}) (Abbildung)
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ist das Urbild von . Welche Menge ist das also?
Das musst du ja angeben, damit du weißt, ob wirklich offen ist, wenn abgeschlossen ist.
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Das Urbild von R ist doch f(R) (offen) ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

ist das Bild von .

Das Urbild von ist die Menge aller mit . Welche x sind das?
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

\mathbb{R} ? xD
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. D.h. und da kannst du jetzt sagen, ob es abgeschlossen oder offen ist, wenn du weißt, ob offen oder abgeschlossen ist.
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde heiße ist abgeschlossen und damit auch unser Beweis? =))
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du dich auf deinen Beitrag von 20:13 beziehst, dann ja.

Und damit wären wir fertig. Wir haben ja gezeigt:



smile
TTkachu Auf diesen Beitrag antworten »

YUHUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU!!!! DANKESEHR!!! Tanzen

Pika- Pika- Pikachu!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! smile

PD: Vielen Dank
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. smile
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