Beweis Stetigkeit auf Q für eine auf R unstetige Funktion |
| 16.11.2014, 15:40 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis Stetigkeit auf Q für eine auf R unstetige Funktion Gegeben ist die stückweise definierte Funktion und zu beweisen ist, dass diese Funktion auf Q stetig ist. Habe zwar auch schon etwas gemacht, aber das war dann letztenends nichts weiter als der Beweis, das f nicht stetig in R ist... 
Das die Funktion in einem gewissen Abstand von Wurzel 2 stetig ist, war leicht zu beweisen, da sie für die einzelnen Abschnitte ja monoton ist und alle q in Q treffen muss. Nur bei eben der Wurzel 2 tue ich mich schwer, weil wenn ich die Stetigkeitsbedingung für ein kleines Intervall , nehme, kann ich nach dem Lemma, das Q dicht in R ist, ja unendlich nah an Wurzel 2 herankommen, sodass sondern eben Letzteres stets größer als 1 bleibt. Was mache ich falsch? Die Aufgabenstellung (Formulierung) lässt eindeutig erkennen, das f(x) schon stetig in Q sein soll, aber ich komme auf was Anderes. |
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| 16.11.2014, 15:53 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wieso möchtest du bei Wurzel(2) eine Eigenschaft der Funktionnachweisen, wenn sie dort gar nicht definiert ist? Du sagst ja auch nicht über deinen nicht vorhandenen Großonkel Heinz das er rote Haare habe. Mit anderen Worten: Eine Funktion kann nur an Definitionsstellen Eigenschaften haben. Und für diese sollte es fast trivial sein die Stetigkeit zu beweisen. Nutze ggf. das Folgenkriterium der Stetigkeit. |
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| 16.11.2014, 16:05 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich weiß, dass Wurzel 2 nicht in Q liegt, aber das verbietet es ja nicht, möglichst nah an Wurzel 2 zu gehen, oder? Wurzel 2 + irgendwas kann ja durchaus in Q liegen... Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler bzw. wie kann man das einfach beweisen? Denn wirklich trivial ist es für mich nicht, ich könnte den Graphen ja auch nicht ohne Stiftabsetzen zeichnen... |
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| 16.11.2014, 16:09 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast eine rationale Zahl q. Da q entweder > wurzel(2) oder q < Wurzel(2) kannst du dazwischen immer eine weitere rationale Zahl finden. |
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| 16.11.2014, 16:12 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » |
eben, und so immer näher an Wurzel 2 herankommen... Mit dem Folgekrterium komme ich auch net so recht klar, bin mir nicht sicher wie ich das hier genau anwenden soll (was wäre x_0 und x_j?) |
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| 16.11.2014, 16:16 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Definierst du also eine Folge a_n mit a_n -> q > wurzel(2) so muss ab einem gewissen Index n0 für alle n gelten: a_n > wurzel(2) Dann gilt ab da auch f(a_n) = f(q) = 1. Fertig. |
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| 16.11.2014, 16:21 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das soll alles sein? Auf die Aufgabe gibt es 6 von 24 Punkten |
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| 16.11.2014, 16:22 | Namenloser324 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du kannst das für jedes q aus Q wiederholen und nachweisen, dass es in jedem Q stetig ist d.h. die Definition der Stetigkeit erfüllt. Also ist die Funktion dort stetig. Du kannst selber sehen, dass das alles ist. |
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| 16.11.2014, 16:29 | nureinnick | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt auch wiederrum... Hmm, ok, vielen Dank auf jeden Fall für deine Hilfe 
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| 16.11.2014, 22:33 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielleicht liest du diesen Thread mal durch, da wurde exakt dieselbe Aufgabe bearbeitet: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=548520 |
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