sinh(ix) durch sinx ausdrücken

16.11.2014, 17:08	törtchen22	Auf diesen Beitrag antworten »
sinh(ix) durch sinx ausdrücken Meine Frage: Also hier die Aufgabe: Drücken Sie $\begin{eqnarray} \sinh(ix) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cosh(ix) \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \sin(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cos(x) \end{eqnarray}$ aus, um den Zusammenhang zwischen den Hyperbelfunktonen und den trigonometrischen Funktionen explizit herzustellen. Meine Ideen: Bisher habe ich es nur geschafft, $\begin{eqnarray} \sin(ix) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sinh(x) \end{eqnarray}$ auszudrücken, aber weiter komme ich nicht. Ich habe mit der Eulerschen Regel umgeformt, sodass ich auf $\begin{eqnarray} \sin(ix) = \ i \cdot sinh(x) \end{eqnarray}$ komme. Stimmt das? Und wie soll ich jetzt weitermachen?
16.11.2014, 22:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies sind allgemein Grundformeln, die nachzuschlagen sind, sie sind sehr nützlich und leicht zu beweisen: $\begin{eqnarray} \sinh(ix) = i \sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cosh(ix) = \cos(x) \end{eqnarray}$ ------------------------------- Verifiziert wird dies (leicht) entweder durch Vergleich der entsprechenden Potenzreihen oder auch einfach durch Einsetzen: $\begin{eqnarray} \sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}} 2 \end{eqnarray}$ Die e-Potenzen sind bereits Polarformen, die nun in die binomische Form umzuschreiben sind (Euler-Darstellung): $\begin{eqnarray} e^{ix} = \cos x + i \sin x \end{eqnarray}$ Entsprechend berechnest du $\begin{eqnarray} e^{-ix} \end{eqnarray}$ , dann einsetzen und fertig .. Analog gehst du bei $\begin{eqnarray} \cosh(ix) \end{eqnarray}$ vor! EDIT: Dein Ergebnis stimmt ebenso. Mit diesem kommst du auch auf die zu beweisende Beziehung! Setze anschließend bei dir anstatt x --> ix: $\begin{eqnarray} \sin(ix) = i \sinh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin(-x) = i \sinh(ix) \end{eqnarray}$ Gleichung mit i multiplizieren: $\begin{eqnarray} i \sin(-x) = -\sinh(ix) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - i\sin(x) = - \sinh(ix) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sinh(ix) = i\sin(x) \end{eqnarray}$ mY+

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