Induktionsbeweis aus einem Produkt

16.11.2014, 18:11

Feras

Induktionsbeweis aus einem Produkt

Hi, ich soll folgende Gleichung beweisen. ACHTUNG: Es ist kein Summenzeichen, sondern ein PRoduktzeichen. Im Formeleditor gab es leider nur das Summenzeichen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (1 + \frac{1}{n+k}) = 2 - \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Die Induktionsvorrausetzung ist klar erfüllt.

Dann habe ich den Induktionsschritt mit n+1 gemacht und dabei kommt folgendes herraus (wie gesagt, es soll ein Produktzeichen sein.)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (1 + \frac{1}{n+k}) * (1 + \frac{1}{n+1+k}) \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht weiter... Kann mir irgendjemand einen Tipp geben, wie ich einen Schritt weiter komme?

Danke smile

16.11.2014, 18:19

Produktmann

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Mit \prod_{k=1}^n stellst du das Produktzeichen dar.

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n \end{eqnarray*}$

Um zu sehen was hier passiert würde ich dir empfehlen, dass du dir ein kleines Beispiel machst und einfach mal die Faktoren hinschreibst ohne etwas auszurechnen.

16.11.2014, 18:20

matheniichtfreak

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Die obere gleichung einfach multipliziern(also statt =, * nehmen) und mit der unteren n+1 gleichsetzen!!
Dann kannst du ja schon kuerzen und der rest sollte gleich sein.

16.11.2014, 18:30

Feras

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also das ergibt dann ja $\begin{eqnarray*} (2- \frac{1}{n+1}) * (1 + \frac{1}{n+1+k} ) \end{eqnarray*}$

Wenn man das weiter auflöst entsteht:

$\begin{eqnarray*} 2 + \frac{2}{n+1+k} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n²+2n+nk+k+1} \end{eqnarray*}$

Wie soll man das weiter zusammenführen können?

16.11.2014, 18:34

matheniichtfreak

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2-(1/(n+1) = (1+ (1/(n+1+k)) meinte ich, der vordere Teil (1+1/(n+k)) kuerzt sich ja weg!

16.11.2014, 18:50

Feras

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Zitat:

Original von matheniichtfreak
2-(1/(n+1) = (1+ (1/(n+1+k)) meinte ich, der vordere Teil (1+1/(n+k)) kuerzt sich ja weg!

Danke

17.11.2014, 08:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von matheniichtfreak
2-(1/(n+1) = (1+ (1/(n+1+k)) meinte ich, der vordere Teil (1+1/(n+k)) kuerzt sich ja weg!

Also mir ist absolut nicht klar, was damit gemeint ist und was da gerechnet wurde. Ein ordentlicher Induktionsbeweis sieht für mich anders aus.

Im Induktionsschritt muß doch folgendes gezeigt werdem:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \frac{1}{n+1+k}) = 2 - \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Wenn man den letzten Faktor aus dem Produkt rauszieht, sieht die linke Seite so aus:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \frac{1}{n+1+k}) = (1 + \frac{1}{2n+2}) \cdot \prod\limits_{k=1}^{n} (1 + \frac{1}{n+1+k}) \end{eqnarray*}$

17.11.2014, 09:46

HAL 9000

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@Feras

Wie in unserem Boardprinzip erläutert lohnt es sich öfters, sich mal im Board umzuschauen, ob nicht ein Kommilitone zeitnah dasselbe Problem hatte:

Vollständige Induktion Produktzeichen

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