Konvergenz einer Folge zeigen und Grenzwert bestimmen

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wgedda Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Folge zeigen und Grenzwert bestimmen
Hallo,

erstmal die Aufgabe vorweg:

Sei vorgegeben und definiert durch und für .
Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.

-------

Die ersten Ansätze:
Wenn gezeigt werden kann, dass die Folge beschränkt ist und dass sie sich monoton fallend oder steigend verhält, bedeutet dies, dass die Folge konvergiert.

Für könnte man z. B. schreiben.

------
Frage: Wie geht man an die Aufgabe am Besten heran? Sind die Ansätze so richtig und wie geht man am Besten weiter vor?

Grüße
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wie geht man an die Aufgabe am Besten heran? Sind die Ansätze so richtig und wie geht man am Besten weiter vor?

Zuerst könntest du dir mal Gedanken zur Monotonie machen. Ist monoton steigend?
wgedda Auf diesen Beitrag antworten »

Würde es ausreichen in die Definition einzusetzen, um zu sehen, ob das nächste Folgeglied kleiner oder größer ist?

Also folgendes:


Und muss dies dann einfach aufgelöst und mit verglichen werden?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Würde es ausreichen in die Definition einzusetzen, um zu sehen, ob das nächste Folgeglied kleiner oder größer ist?

Ja, wie sollte das sonst gehen? Schau dir die Folge aber erstmal genau an.
wgedda Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Ja, wie sollte das sonst gehen? Schau dir die Folge aber erstmal genau an.


Das habe ich schon einige Zeit, ich weiß leider nicht, in welche Richtung du mich lenken möchtest. Soll ich erstmal alles auf den gleichen Nenner bringen?
Matt Eagle Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wgedda
Würde es ausreichen in die Definition einzusetzen, um zu sehen, ob das nächste Folgeglied kleiner oder größer ist?


Dann hättest Du zwar berechnet, wärst aber hinsichtlich des eigentlichen Ziels nicht wirklich weiter gekommen.

Zunächst solltest Du versuchen zu zeigen, dass die Folge durch nach unten beschränkt ist.

Dazu könntest Du z.B. die Ungleichung zwischen arith. und geom. Mittel nutzen.

Die so gewonnene unteres Schranke kannst Du dann benutzen, um zu zeigen, dass die Folge monoton fällt woraus dann insgesamt die Konvergenz folgt.
 
 
wgedda Auf diesen Beitrag antworten »

@Matt Eagle

Vielen Dank, ich werde das mal weiter probieren.
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