Vektorraum

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cScience94 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum
Meine Frage:
Also die Aufgabe lautet : Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Begründen sie jeweils ihre Antwort ! a)V1= {}
Ist mit der Addition und skalaren Multiplikation für Abbildungen von nach ein -Vektorraum.


Meine Ideen:
Ich habs mir so überlegt : wenn die Summe von |xi|^2 (i =1 bis unendlich) konvergiert dann muss der Wert ja immer kleiner werden, das heißt es muss sich immer mehr der 0 annähern, sie aber nie erreichen. Da ein Körper aber mindestens die 0 und 1 als element haben muss , wär das hier kein -Vektorraum. Ich bin mir aber bei der Begründung nicht sicher und weiß nicht wie ich bei der Aufgabe richtig begründen soll. Ich bitte um Hilfe.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Begründung ist ziemlich abstrus.
Du musst doch zeigen: konvergiert , so auch . Gleiches für die Addition.
cScience94 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie mach ich das ?
Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll, weil ich das Thema Vektorräume momentan nicht so ganz verstehe. Kannst du mir bitte ein paar tipps oder Ansätze geben ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal muss gezeigt werden, dass es in überhaupt ein Element gibt. Kannst du da eins angeben?
Sind nun , so gilt und konvergieren.
Jetzt musst du überprüfen ob , d.h. also ob konvergiert.

Gleiches für und die oben genannte Reihe.
cScience94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würd sagen ein Element des Vektorraums wäre z.B



kann ich dann mit so beispielen rechnen oder wie kann ich so eine Konvergenz
allgemein in Vektoren ausdrücken ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Mh, so sehen Elemente des VRs aber nicht aus. Du meinst vermutlich die Abbildung , die liegt tatsächlich in .
Jetzt nimmst du einfach zwei Elemente aus und überprüfst die Summe.
 
 
cScience94 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versteh nicht genau wie der Vektorraum definiert ist, ist das Element eines Vektorraums eine Abbildung oder ein Vektor ?
Also betrachte ich hier eher eine mögliche Abbildung die eine Konvergenz definiert ?
cScience94 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zur Addition hab ich folgendes herausgefunden :

Hab folgende Elemente ausgesucht und miteinander addiert



und



Also wär das


Also wär die Summe des Ergebnisses wieder konvergent.
Wär das richtig oder hab ich was falsch gemacht ?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich versteh nicht genau wie der Vektorraum definiert ist, ist das Element eines Vektorraums eine Abbildung oder ein Vektor ?

Abbildungen, aber Elemente eines VRs heißen auch Vektoren. Hier ist doch klar definiert: .

Jetzt mal dein Beispiel richtig aufgeschrieben. Es ist , überprüfen wir ob die Summe drin liegt, in diesem Spezialfall wählst du also und erhälst .

Dadurch hab ich dir gerade quasi gezeigt wie das dritte Kriterium zu prüfen ist Augenzwinkern

Jetzt überträgst du das nur noch auf die Summe.
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