Wurzelungleichung

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17.11.2014, 01:09	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzelungleichung Hallo, sitze vor folgender Aufgabe und weiß nicht recht wie ich anfangen soll: $\begin{eqnarray} \sqrt{1+\sqrt{x} } \geq \frac{3}{2}- \sqrt{1-\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ Habe zunächst überlegt beide Seiten zu quadrieren, dies darf man ja allerdings nur machen wenn beide Seiten der Gleichung positiv sind. Auf der linken Seite ist das ja kein Problem, auf der rechten Seite bin ich mir allerdings nicht sicher. Die Lösung lautet: $\begin{eqnarray} L =[0, \frac{63}{64}] \end{eqnarray}$ - verwirrt mich allerdings ein wenig, da ich die 0 eigentlich von vorn herein aus dem Definitionsbereich gestrichen hätte.. Hoffe mir kann jemand verraten wie ich überhaupt anfangen müsste mfG, Tim
17.11.2014, 01:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum hast Du die 0 denn gestrichen? Ist $\begin{align} 1=\sqrt{1+\sqrt 0}\geq \frac 32 - \sqrt{1-\sqrt0}=\frac 32-1 \end{align}$ eine falsche Aussage oder die Wurzel nur für positive Zahlen definiert? Quadriaren kannst Du hier guten Gewissens, denn auf der rechten Seite ist wegen $\begin{align} \sqrt x \geq 0 \end{align}$ automatisch $\begin{align} \sqrt{1-\sqrt x} \leq 1 \end{align}$
17.11.2014, 01:52	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht - mit ein bisschen schärfer Nachdenken hätte ich da auch von alleine drauf kommen sollen! Jedenfalls habe ich nun quadriert aber komme dennoch nicht auf das korrekte Ergebnis - wo liegt der Fehler? [attach]36109[/attach] Ich glaube ich stelle mich grad extrem blöd an..
17.11.2014, 02:32	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Binomische Formeln werden echt überbewertet
17.11.2014, 11:02	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin & ganz am Rande! Mir sprang gestern Nacht schon die $\begin{align} \sqrt x \end{align}$ ins Auge und das verführt doch zu $\begin{align} y:=\sqrt x\Rightarrow \sqrt {1+y}\geq \frac{3}{2}-\sqrt{1-y} \end{align}$ , oder ? Ansonsten, wie schon betont: Bei Summen oder Differenzen: binomischen Formeln!
17.11.2014, 11:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch etwas ist an dieser Unleichung interessant: In aller Regel ist es ein schlechter Tipp bei derartigen Ungleichungen, beide Wurzeln auf eine Seite bringen und dann zu quadrieren, es ergeben sich dann i.a. noch kompliziertere Wurzelterme. Bei der sehr speziellen Struktur der beiden Radikanden hier haben wir dann aber den raren Fall, dass sich mit dieser sonst verpönten Methode hier eine Vereinfachung ergibt: $\begin{align} \sqrt{1+\sqrt{x}} + \sqrt{1-\sqrt{x}} \geq \frac{3}{2} \qquad \Bigm\| \; ()^2 \end{align}$
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17.11.2014, 11:42	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »

17.11.2014, 12:49	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, erst mal vielen Dank, dass ihr alle versucht mir zu helfen! Ich habe mal alles ausprobiert: 1. Methode: [attach]36112[/attach] Ich glaube hier hab ich ne ganze Menge falsch gemacht - das sieht zu kompliziert aus oder? Ansonsten: darf man das $\begin{eqnarray} \sqrt {x} \end{eqnarray}$ einfach durch y ersetzen?? Wenn ich es geschafft hätte am ende Y zu isolieren hätte ich dann einfach daraus die Wurzel gezogen und hätte das Ergebnis, oder? Danach hab ich dann das ganze mal versucht wie Hal gesagt hat (auch wenn ich nicht weiß ob ich dir nach der Aktion im Weltraum noch trauen sollte ): [attach]36113[/attach] Das sieht ja schonmal fast richtig aus, wo habe ich falsch gerechnet?? Nochmals vielen Dank! mfG, Tim
17.11.2014, 13:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das von dir gleich im ersten Quadrierungsschritt allem Anschein nach angewandte $\begin{align} \sqrt{1+\sqrt{x}}\cdot \sqrt{1-\sqrt{x}} \stackrel{?}{=} 1-\sqrt{x} \end{align}$ ist falsch.
17.11.2014, 13:27	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt{1+\sqrt{x} } \sqrt{1-\sqrt{x} } = \sqrt{(1+\sqrt{x}) * (1-\sqrt{x} ) } = \sqrt{1^2-(\sqrt{x})^2 } = \sqrt{1-x} \end{eqnarray*}$ So müsste es richtig sein oder?? Das würde für die Rechnung heißen: [attach]36114[/attach] Da scheint aber immernoch einiges falsch zu sein
17.11.2014, 13:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenfehler en masse $\begin{align} \frac{1}{4} \end{align}$ dividiert durch 2 ergibt nicht $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ , sondern ?
17.11.2014, 13:45	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
oh man... peinlich... Da sollte natürlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ rauskommen und somit kommt tatsächlich $\begin{eqnarray} x \leq \frac{63}{64} \end{eqnarray}$ und damit: $\begin{eqnarray} L = [0, \frac{63}{64}] \end{eqnarray}$ Vielen vielen Dank für die Hilfe und die Geduld, traurigerweise hätte ich das alleine wahrscheinlich nie hinbekommen... mfG, Tim
17.11.2014, 13:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Mit dem ersten Weg klappt es auch, ist nur unwesentlich länger: $\begin{align} \sqrt{1+y} &\geq \frac{3}{2}-\sqrt{1-y} \qquad \Bigm\| \; ()^2 \\ 1+y &\geq \frac{9}{4}-3\sqrt{1-y}+1-y \qquad \Bigm\| \; +3\sqrt{1-y}-1-y \\ 3\sqrt{1-y} &\geq \frac{9}{4}-2y \qquad \Bigm\| \; {\color{red} ()^2} \\ 9-9y &\geq \frac{81}{16}-9y+4y^2 \qquad \Bigm\| \; +9y-\frac{81}{16} \\ \frac{63}{16} &\geq 4y^2 \qquad \Bigm\| \; :4 \\ \frac{63}{64} &\geq y^2 \end{align}$ was angesichts von $\begin{align} y^2=x \end{align}$ dem oben entspricht. Vor der zweiten Quadrierung $\begin{align} {\color{red} ()^2} \end{align}$ sollte man vielleicht noch anmerken, dass der Definitionsbereich der Ungleichung nur $\begin{align} 0\leq y=\sqrt{x} \leq 1 \end{align}$ umfasst (sonst ist die Wurzel $\begin{align} \sqrt{1-y} \end{align}$ nicht im Reellen definiert) und daher ist dort die rechte Seite $\begin{align} \frac{9}{4}-2y \end{align}$ immer positiv.
17.11.2014, 14:33	ruther	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe auch diese Lösung nochmal durchgerechnet und stelle mit erschrecken fest, dass ich fast schon wieder die Binomische Formel vergessen hätte.. hier besteht also noch ne Menge Übungsbedarf Vielen Dank!

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