Direkte Summe von Untervektorräumen

17.11.2014, 09:33

bob123

Direkte Summe von Untervektorräumen

Hallo Matheboard,

Ich kann mit dieser Aufgabe nur halbwegs was anfangen:

[attach]36111[/attach]

Natürlich habe ich diese Aufgabe auch schon versucht, aber bin zu keinem Entschluss gekommen.
Ich dachte erst, man summiert diese beiden Vektoren einfach miteinander und dann guckt man per Axiome, ob dieser im R^3 liegt, das geht aber so nicht.

Dann habe ich ein bisschen gegoogled, nach ähnlichen Aufgaben, da wird davon was gesagt, dass der Schnitt der beiden 0 sein muss, sodass sie sich direkt addieren? Dann habe ich noch was gesehen mit Linearen Hüllen davon bilden und dann gucken ob es sich um eine Basis handelt.... Jetzt habe ich so viele Begriffe gelesen und gefunden, wie ist hier die Vorgehensweise?
Ich hätte jetzt gesagt das mit dem Nullvektor macht durchaus Sinn, weil wenn der Nullvektor dann enthalten ist, kann ich sagen, es ist erstens nicht leer, zweitens ist der Abgeschlossen bezüglich Addition und Skalarmultiplikation. Kann mich jemand bitte nun auf den richtigen Weg führen?

Vielen Dank!

17.11.2014, 10:12

bijektion

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Zitat:

Dann habe ich ein bisschen gegoogled, nach ähnlichen Aufgaben, da wird davon was gesagt, dass der Schnitt der beiden 0 sein muss, sodass sie sich direkt addieren?

Ja, dafür müsste erstmal $\begin{eqnarray*} U\cap V=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gelten. Hast du das schon überprüft?

Man kann zeigen, das die Darstellung von $\begin{eqnarray*} v\in U\oplus V \end{eqnarray*}$ eindeutig ist, das kannst du hier nutzen. Dafür benötigst du aber erstmal, dass $\begin{eqnarray*} U\cap V=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zuerst solltest du nun $\begin{eqnarray*} U\cap V=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ prüfen.

17.11.2014, 20:09

bob123

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Offensichtlich ist ja der Nullvektor in xyz enthalten, dann der Schnitt von beiden, da z in R, ist auch der Nullvektor dort enthalten, zudem ist der Schnitt der beiden, der Nullvektor.

Muss ich jetzt nur noch abgeschlossenheit bzgl Add und Skalarmultiplikation nachprüfen?

17.11.2014, 20:13

bijektion

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Das $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ UVRs sind, ist vorausgesetzt.

Wenn dir das "offensichtlich" reicht, muss du jetzt noch zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} w\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V, u\in U \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} w=\lambda\cdot v+\mu\cdot u \end{eqnarray*}$ .

19.11.2014, 20:39

bob123

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Ich muss nochmal fragen:

Wie rechne ich, ob der Schnitt 0 ist? Anscheinend reicht mir das "Offensichtlich" doch nicht, wie prüfe ich ob der Schnitt 0 ist?

19.11.2014, 22:22

bijektion

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Wenn $\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in U\cap V \end{eqnarray*}$ ist, dann muss gelten: $\begin{eqnarray*} 3x+2y=3z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=y=0 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2014, 10:00

bob123

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Sorry, aber mir ist noch nicht ganz klar, was ich mit dem V machen muss:

$\begin{eqnarray*} (x,y,z)\in U\cap V \end{eqnarray*}$ , was mach ich dann mit dem $\begin{eqnarray*} (0,0,z) \end{eqnarray*}$ ?

Klar, es muss das da gelten, aber 3x + 2y mit x=y=0, achsoooo, nehme ich das dann aus $\begin{eqnarray*} (0,0,z) \end{eqnarray*}$ ? Weil die ja da 0 sind? d.h. $\begin{eqnarray*} 3x+2y=3z \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0+0=3z -> 3z = 0 -> z = 0 \end{eqnarray*}$ -> Nullvektor!

So, jetzt muss ich zeigen, dass für alle w aus dem R^3 Zahlen gibt, $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass die w sich darstellen lässt mit: $\begin{eqnarray*} w=\lambda\cdot v+\mu\cdot u \end{eqnarray*}$ mit v in V und u in U!

Also: v liegt in V und u in U. Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Summe stets wieder im R^3. Reicht das als Begründung oder muss da noch was gerechnet werden?

20.11.2014, 10:30

bijektion

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Zitat:

Klar, es muss das da gelten, aber 3x + 2y mit x=y=0, achsoooo, nehme ich das dann aus $\begin{eqnarray*} (0,0,z) \end{eqnarray*}$ ? Weil die ja da 0 sind? d.h. $\begin{eqnarray*} 3x+2y=3z \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} 0+0=3z -> 3z = 0 -> z = 0 \end{eqnarray*}$ -> Nullvektor!

Ja.

Zitat:

Reicht das als Begründung oder muss da noch was gerechnet werden?

Deine Aussage ist trivial, denn $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ sind UVR von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist, das sich auch jeder Vektor so darstellen lässt.
Dazu könntest du etwa Basen $\begin{eqnarray*} \mathcal{B},\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} U,V \end{eqnarray*}$ wählen und zeigen, das $\begin{eqnarray*} \mathcal{D}=\mathcal{B}\cup\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist.

20.11.2014, 11:45

bob123

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Hi nochmals,

muss ich letzteres denn zeigen? Oder reicht meine Begrüdung? Diese Methode haben wir in der Vorlesung nicht kennengelernt.
Aber um mir ein besseres Verständnis trotzdem zu bereiten:

Wenn ich Basen von U und V haben, sagen wir Standardbasen, dann sind diese ja linear unabhängig und erzeugendensystem und wenn ich diese beiden Basen vereinige, dann hab ich quasi eine neue Basis und diese kann ich dazu nutzen, dass ich dann alle Vektor darstellen kann. Oder wieso nehme ich diese Basen?

20.11.2014, 11:51

bijektion

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Zitat:

Also: v liegt in V und u in U. Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist die Summe stets wieder im R^3

Das reicht nicht, nimm etwa dieses Beispiel: Wir setzen $\begin{eqnarray*} U=\left\{ (x,0,0)\in\mathbb{R}^3 | x\in\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V=\left\{ (0,y,0)\in\mathbb{R}^3 | y\in\mathbb{R}\right\} \end{eqnarray*}$ . Sicherlich ist $\begin{eqnarray*} U\cap V=\emptyset \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} u\in U,v\in V \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} \lambda\cdot u +\mu\cdot v \in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .
Aber trotzdem ist nur $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2\cong U\oplus V \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2014, 12:51

bob123

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Kann ich das auch irgendwie ohne Basen lösen?

20.11.2014, 12:57

bijektion

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Nutze die Definition von $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ .

21.11.2014, 14:38

bob123

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Dankeschön!