Diskrete Menge mit Häufungspunkt

17.11.2014, 12:25

steviehawk

Diskrete Menge mit Häufungspunkt

Meine Frage:
Hallo Leute, ich lese gerade folgendes:

Die Menge $\begin{eqnarray*} A = \{ 2^{-k} | k \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ ist diskret in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat aber $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als Häufungspunkt.

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass ein HP zur Menge gehören kann oder auch nicht. Hier gehört er nicht dazu. Das ist nicht das Problem.

Zwei aufeinanderfolgende Zahlen aus der obigen Menge, also haben mindestens den Abstand $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun Umgebungen wähle zum Beispiel der Form:

$\begin{eqnarray*} U(\frac{1}{2^k},\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2^{k+2}} \end{eqnarray*}$ dann liegt nur die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ da drin. Also ist die Menge diskret.. (so habe ich es mir versucht klar zu machen)

Also Folge gesehen konvergieren die Zahlen gegen Null, also ist Null ein HP der Menge. Wie lässt sich das mit der Diskretheit vereinbaren?

Warum geht das nicht bei der Menge $\begin{eqnarray*} B = \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ analog?

Danke für die gute Hilfe smile

Gruß Stevie

17.11.2014, 18:19

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} U(\frac{1}{2^k},\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{2^{k+2}} \end{eqnarray*}$ dann liegt nur die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^k} \end{eqnarray*}$ da drin. Also ist die Menge diskret.. (so habe ich es mir versucht klar zu machen)

Das ist auch richtig.

Zitat:

Also Folge gesehen konvergieren die Zahlen gegen Null, also ist Null ein HP der Menge. Wie lässt sich das mit der Diskretheit vereinbaren?

Solange der Häufungspunkt nicht in der Menge liegt, ist das kein Problem. Warum sollte es?

Zitat:

Warum geht das nicht bei der Menge $\begin{eqnarray*} B = \{ \frac{1}{n} | n \in \mathbb N \} \end{eqnarray*}$ analog?

Tut es doch Augenzwinkern

Auch diese Menge ist diskret.