Lokale Maxima und Minima von f bestimmen

17.11.2014, 13:21

ME93

Lokale Maxima und Minima von f bestimmen

Meine Frage:
Hallo! :-)

Gegeben sei die Funktion f: [- 5, 5] -> R durch

f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 120x^2 - 360x - 208 für x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -1
3x^4 + 24x^3 + 66x^2 + 72x + 28 für x < -1

Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima von f.

Hinweis: Benutzen Sie, dass f stetig ist, ohne das zu zeigen,

f'(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x^2 + 4) (x - 3) (x + 1) und
f'(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) für alle x in R.

Meine Ideen:
Fall x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -1

f' (x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x^2 + 4) (x - 3) (x + 1)

Aus der faktorisierten Darstellung geht hervor, dass die Nullstellen bei

x1 = 3
x2 = -1

liegen müssen, da die Ableitung nur hierdurch die Bedingung f'(x) = 0 erfüllt. Beide Nullstellen sind im Intervall [- 1, 5] enthalten.

Bestimmung der Maxima und Minima:

In meinem Skript steht:

"Es gelte f'(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x in I mit x < x0 und f'(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x in I mit x > x0. Dann besitzt f in x0 ein lokales Maximum."

und

"Es gelte f'(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x in I mit x < x0 und f'(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 für alle x in I mit x > x0. Dann besitzt f in x0 ein lokales Minimum."

f'(x0) = f'(x1) = f'(3) = 0

Fall x < x0:

f'(2) = (2^2 + 4) (2 - 3) (2 + 1) = -24 < f'(x0) = 0

Fall x > x0

f'(4) = (4^2 + 4) (4 - 3) (4 + 1) = 100 > f'(x0) = 0

Der Fall x < x0 erfüllt die Bedingung f'(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 0, der Fall x > x0 erfüllt die Bedingung f'(x) $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0. Daraus folgt:

Bei x1 = 3 besitzt f ein lokales Maximum.

Ist das bis hierhin korrekt?

17.11.2014, 13:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von ME93
f'(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x^2 + 4) (x - 3) (x + 1) und
f'(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) für alle x in R.

Eine ziemlich misslungene "Verkürzung" des vermutlich eigentlich (!) gemeinten

$\begin{align*} f'(x) = {\color{red}30(}x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12{\color{red})} = 30(x^2 + 4) (x - 3) (x + 1) \end{align*}$ für x>-1
$\begin{align*} f'(x) = {\color{red}12(}x^3 + 6x^2 + 11x + 6{\color{red})} = 12(x + 1) (x + 2) (x + 3) \end{align*}$ für x<-1

17.11.2014, 13:49

ME93

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Hi,

vielen Dank für deine Antwort! Das, was du ansprichst, steht allerdings genauso auf dem Übungszettel - insofern soll das wohl vorerst so sein smile

17.11.2014, 14:05

HAL 9000

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Du meinst, DAS

Zitat:

Original von ME93
f'(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - 8x - 12 = (x^2 + 4) (x - 3) (x + 1) und
f'(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1) (x + 2) (x + 3) für alle x in R.

soll "vorerst" so sein, TROTZ des gegebenen

Zitat:

Original von ME93
Gegeben sei die Funktion f: [- 5, 5] -> R durch

f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 120x^2 - 360x - 208 für x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ -1
3x^4 + 24x^3 + 66x^2 + 72x + 28 für x < -1

Dann scheinst du mit Scheuklappen durch die Gegend zu laufen. unglücklich

17.11.2014, 14:35

ME93

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du meinst, DAS

[...]

soll "vorerst" so sein, TROTZ des gegebenen

[...]

Ja, da dies exakt der Darstellung der Aufgabenstellung entspricht. Dass dies streng genommen nicht dasselbe ist, ist mir bewusst, aber es wird seinen Grund haben. Du meinst, ich solle die Aufgabe lieber mit den Ergänzungen bearbeiten, die du mir hinterlegt hast? Wirkt sich diese Ergänzung denn auf die Lösung aus? Oder richtet sich dein Einwand schlicht gegen das Formale?

Lieben Gruß.

17.11.2014, 14:48

HAL 9000

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Ein zusätzlicher Vorfaktor vor der Gesamtfunktion wirkt sich natürlich nicht auf die Nullstellen dieser Funktion aus. Aber so wie du es geschrieben hast "f'(x)=..." ist die Angabe eben schlicht falsch bezogen auf die ja hier nun festliegende Funktion f. Ist das so schwer verständlich? unglücklich

17.11.2014, 18:03

ME93

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein zusätzlicher Vorfaktor vor der Gesamtfunktion wirkt sich natürlich nicht auf die Nullstellen dieser Funktion aus. Aber so wie du es geschrieben hast "f'(x)=..." ist die Angabe eben schlicht falsch bezogen auf die ja hier nun festliegende Funktion f. Ist das so schwer verständlich? unglücklich

Nein, ich habe doch gesagt, dass ich mir bewusst bin, dass der Vorfaktor fehlt. Er stand aber so nicht in der Aufgabenstellung, und das, was du zitiert hast, habe ich schlicht so übernommen, wie es auf dem Übunungszettel geschrieben stand. Ich kann die Aufregung insofern nicht nachvollziehen, aber wenn das alles ist, woran du dich aufhängst, scheint der Rest wohl nicht so verkehrt zu sein. Augenzwinkern

Von daher: Vielen Dank! Freude

17.11.2014, 21:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von ME93
Ich kann die Aufregung insofern nicht nachvollziehen, aber wenn das alles ist, woran du dich aufhängst, scheint der Rest wohl nicht so verkehrt zu sein.

Da ich den Rest nicht durchgelesen habe, kann ich das nicht beurteilen.

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