(X,d) lindelöf dann zweitabzählbar

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
(X,d) lindelöf dann zweitabzählbar
Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne zeigen, dass jeder metrische Raum der lindelöf ist auch zweitabzählbar ist.

Meine Ideen:
Also ich dachte mir das so: Sei mein metrischer Raum. Da er lindelöf ist, existiert für jede offene Überdeckung eine abzählbare Teilüberdeckung (ist dies auch eine offene Überdeckung? )

Es gilt also , wobei eine abzählbare Indexmenge ist.

Für eine beliebige offene Menge gilt dann:

Also gilt: und damit ist das System die Basis meiner Topologie.

Wofür habe ich jetzt die Metrik gebraucht? Bestimmt stimmt das so noch nicht..

Danke für die Hilfe
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

Zitat:
ist dies auch eine offene Überdeckung? )


offene Überdeckung heißt doch zunächst mal, dass jede der überdeckenden Mengen offen ist(nicht, dass die Vereinigung all dieser offen ist! Das folgt zwar, ist aber eine schwächere Aussage). Wenn man jetzt von diesen offenen Mengen nur bestimme auswählt, sind von diesen ausgewählten natürlich immer noch alle Mengen für sich genommen offen.

Du schreibst doch selbst, dass Du vereinigst doch dort nicht nur Mengen aus , denn dort müssen ja nicht die Mengenb drin liegen verwirrt

Möchtest du damit erstmal selbst weiter versuchen oder willst du einen Schubs ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mich so fragst freue ich mich natürlich über einen schubs. Vielen Dank schon mal dafür. Gruß Stevie
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für festes ist sicherlich eine offene Überdeckung von . Das heißt, du findest eine abzählbare Teilüberdeckung .

Fällt dir dazu was ein? Tipp: allein wird für festes nicht reichen.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

MHH, also noch nicht so richtig. Ich möchte ja zeigen, dass die topologie eine abzählbare Basis besitzt. Da ich einen metrischen Raum habe, betrachte ich die Topologie, die durch die metrik induziert wird. Also die U_i sind ja solche offene Mengen. Ich habe eine abzählbare Menge davon. Warum bilden diese dann noch nicht direkt meine Basis? Kann ich nicht 1/n mit n = 1,2,3 ... Wählen?

Das geht ja in jedem metrischen Raum. Wozu dann ist dann lindelöf nötig?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das genau? Was geht in jedem metrischen Raum?
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade zu sehr an umgebungsbasen gedacht. Also jeder metrische Raum erfüllt ja das erste abzählbarkeitsaxiom, wegen der obigen konstruktion. Aber das impliziert ja nicht das zweite.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn nun der Stand? Hilft dir der Tipp weiter oder nicht?

Dein erster Beitrag klang so, als würde er das nicht. Dann aber hast du einen Denkfehler bemerkt. Wie sieht es also aus ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe es ehrlich gesagt noch nicht. Wenn ich eine abzählbar Teilüberdeckung habe. So wie du oben, warum ist das noch nicht meine Basis der Topologie?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir mal als Beispiel. ist ja sicherlich ein Lindelöf-Raum.

Ist jetzt beliebig, so ist zum Beispiel eine abzählbare Überdeckung von (die man zum Beispiel als abzählbare Teilüberdeckung aus der Lindelöf-Eigenschaft erhalten könnte). Du wirst aber sicherlich zum Beispiel die offene Menge nicht als Vereinigung von Mengen aus dieser Folge schreiben können.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt sehe ich es auch, dass es noch nicht die Basis sein kann. Ich versuche es nochmal.

Auf Grund der Lindelöf Eigenschaft erhalte ich eine abzählbare Überdeckung:



also ist jedes in mind. einem der enthalten. Also ist dieses eine offene Umgebung für dieses x. Nun kann ich in jedem metrischen Raum eine abzählbare Umgebungsbasis für dieses finden. Sei diese Umgebungsbasis. Dann kann ich darstellen als abzählbare Vereinigung der Basismengen aus die in U enthalten sind.

Kann ich daraus jetzt die Basis der Topologie basteln?

EDIT: Oder reicht es bei deinem noch die zu variieren?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann kann ich darstellen als abzählbare Vereinigung der Basismengen aus die in U enthalten sind.


Warum sollte das gehen?


Zitat:
EDIT: Oder reicht es bei deinem noch die zu variieren?

Ja, ich habe dir den Tipp ja nicht aus Jux gegeben Augenzwinkern

Du musst bloß noch zeigen, dass es damit tatsächlich funktioniert.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!

Also noch mal vor vorne: Sei ein metrischer Raum. Dann ist sicherlich für festes :
eine offene Überdeckung. Wegen der Lindelöf Eigenschaft erhalte ich die abzählbare Überdeckung: wobei das n noch fest ist, ich jetzt aber nur abzählbar viele verwenden muss.

Nun definiere ich mir:

diese Menge ist auch wieder abzählbar und bildet meine Basis. Denn:

Sei eine beliebige offene Menge aus und sei beliebig. Dann gilt: für passendes (offene Menge enthält offenen Ball)

Nun war ich verleitet zu sagen, dass ja bereits bereits in enthalten ist. Dies muss aber nicht sein, da man nicht weiß, ob dieses bei den abzählbar vielen dabei ist. Man denke an und

Daher betrachte ich die Menge diese bilden eine abzählbare Überdeckung von X. Also existiert ein so dass gilt

Nun gilt:

Wegen bildet meine abzählbare Basis.

Bemerkung: hatten wir als äquivalente Charakterisierung der Basis der Topologie.

Gruß Stevie
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp Freude

Es muss aber heißen, sonst ist alles richtig Augenzwinkern
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Guppi12!

Das mit dem Element ist auch klar, ich editiere es noch schnell smile
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