Normalverteilung

17.11.2014, 18:24

kadoy

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Normalverteilung

Halihallo,

ich habe folgende Aufgabe : Zeigen Sie für $\begin{eqnarray*} X N(\lambda , \alpha ^{2}) \end{eqnarray*}$ (zwischen dem X und N is noch so ein genähert zeichen), dass $\begin{eqnarray*} P(|X - \lambda |\leq 0.675*\alpha ) = 0,5 \end{eqnarray*}$

Hinweis: "phi" $\begin{eqnarray*} \gamma (0,675) = 0,75 \end{eqnarray*}$

nun habe ich mittels eines buches herausgefunden, dass P(...) = $\begin{eqnarray*} 2*\gamma (0,675) - 1 \end{eqnarray*}$ ist

und bin dann auch schnell ans ziel gekommen, jedoch konnte ich einfach nicht herausfinden wie man auf diese Umformung kommt

könnte mir bitte jemand helfen

edit: tut mir leid dass ich einige unübliche Zeichen verwendet hab, konnte die Original Zeichen aber nicht finden

17.11.2014, 20:11

h4mmer

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RE: Normalverteilung
Hallo,

Zuersteinmal die Zeichen:

"\sim": $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$

"\Phi": $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(|X - \lambda |\leq 0.675*\alpha ) = 0,5 \end{eqnarray*}$

Schreibe die Ungleichung zunächst mal ohne den Betrag und überlege dir, warum

$\begin{eqnarray*} Z:=\frac {X-\lambda}\alpha \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

Dann kannst du die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung verwenden.

Gruß

17.11.2014, 20:30

kadoy

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hm ich komm nicht drauf bzw. verstehe nicht so richtig was ich machen soll :/

17.11.2014, 20:45

h4mmer

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Zitat:

Schreibe die Ungleichung zunächst mal ohne den Betrag

$\begin{eqnarray*} P(|a|\leq b)=P(-b\leq a\leq b) \end{eqnarray*}$

17.11.2014, 21:06

kadoy

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ok dann steht dort nun

$\begin{eqnarray*} P(-0.675\alpha \leq X - \lambda \leq 0.675\alpha ) \end{eqnarray*}$

und im buch (nicht vorlesung) habe ich noch gefunden

$\begin{eqnarray*} P(-b \leq X \leq b) = \Phi(b) - \Phi(-b) \end{eqnarray*}$ nur stünde da bei mir doch jeweils noch ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ mit drin und nicht nur $\begin{eqnarray*} \pm 0.675 \end{eqnarray*}$

edit: sollte ich die gleichung nicht durch a teilen?

17.11.2014, 21:13

h4mmer

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(-b \leq X \leq b) = \Phi(b) - \Phi(-b) \end{eqnarray*}$

Das stimmt, aber da steht sicher noch, dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist.
(In den meisten Büchern bezeichnet man mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung)

$\begin{eqnarray*} P(-0.675\alpha \leq X - \lambda \leq 0.675\alpha )=P(-0.675 \leq \frac {X - \lambda}\alpha \leq 0.675) \end{eqnarray*}$

Überleg die jetzt warum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z:=\frac {X-\lambda}\alpha \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

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17.11.2014, 21:16

kadoy

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das einzige was mir dazu einfällt ist, dass ich lambda = 0 und a = 1 einsetze :/

oder meinst du dass so die standardnormalverteilung definiert ist?

17.11.2014, 21:30

h4mmer

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Dir ist aber schon klar, was Z \sim N(0,1) bedeutet, oder?

17.11.2014, 21:33

kadoy

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Standardnormalverteilung?

17.11.2014, 21:47

h4mmer

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Wieso "?". Bist du dir nicht sicher, ist das geraten oder wie?
Du musst schon sagen, wenn dir was nicht klar ist, sonst kann die keiner helfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also ich versuchs mal so:

Sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable.

$\begin{eqnarray*} X\sim N(\mu, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ Normalverteilt ist, mit dem Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und der Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ .
Falls du nicht weißt, was die Normalverteilung überhaupt sein soll, schau bei Wikipedia

Ist der Erwartugnswert $\begin{eqnarray*} \mu=0 \end{eqnarray*}$ und die Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2=1 \end{eqnarray*}$ , so spricht man von einer Standartnormalverteilung.
Die Verteilungsfunktion dieser ist vertafelt und wir im Allgemeinen mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

Jetzt zur Aufgabe:

Zitat:

Überleg die jetzt warum $\begin{eqnarray*} Z:=\frac {X-\lambda}\alpha \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

Zeige also: $\begin{eqnarray*} E(Z)=0, Var(Z)=1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß

17.11.2014, 21:52

kadoy

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nein eigentlich kein ? das steht auch so in meiner vorlesung, nur haben wir nicht weiter viel dazu gemacht , außer welche variable Varianz und Erwartungswert ist und das Integral berechnet dann noch ein paar zeichnungen und phi werte

17.11.2014, 22:00

h4mmer

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Zitat:

Zeige also: $\begin{eqnarray*} E(Z)=0, Var(Z)=1 \end{eqnarray*}$ .

Zeig doch das (mithilfe der Rechenregeln bzgl. des Erwartungswertes und der Varianz).

Dann folgt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Z:=\frac {X-\lambda}\alpha \sim N(0,1) \end{eqnarray*}$

Also kann man so umformen:

$\begin{eqnarray*} P(|X - \lambda |\leq 0.675*\alpha ) =\dots = P(-0.675\leq Z \leq 0.675)=\Phi(0.675)-\Phi(-0.675)=\dots =0.5 \end{eqnarray*}$

Bedenke bei den zweiten Punkten: $\begin{eqnarray*} \Phi(-a)=1-\Phi(a) \end{eqnarray*}$

Damit habe ich die Aufgabe ja fast alleine gelöst, das bisschen solltest du noch hinbekommen smile

smile

17.11.2014, 22:04

kadoy

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na ja was heisst alleine gelöst ich hatte es ja im 5. kommentar schon so da stehen (nur nicht eingesetzt was ja aber nicht mehr weiter schwer ist )

ich konnte halt deine fragen nicht beantworten, da ich , wie es bei neuen sachen manchmal ist , mich nicht auskenne Big Laugh

Big Laugh

nichts desto trotz danke für deine mühe

17.11.2014, 22:18

h4mmer

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Dir ist aber schon klar, dass (falls das eine Übungsaufgabe ist)

$\begin{eqnarray*} P(|X - \lambda |\leq 0.675*\alpha ) = 2*\Phi (0,675) - 1=0.5 \end{eqnarray*}$

keine Punkte gibt, oder?

Meine "Fragen" sind die Schritte, die notwendig sind (und ein paar stehen noch aus), um auf das Ergebnis zu kommen. Das ist die eigendliche Aufgabe!

Und

Zitat:

nichts desto trotz danke für deine mühe

solltest du wirklich vermeiden, da wirst du nicht mehr viel Hilfe bekommen.

17.11.2014, 22:24

kadoy

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von dem ersten Ergebnis hab ich ja nicht gesprochen sondern von wie gesagt "Post 5."

und ich mein es ja nicht böse wenn ich mich für deine mühe bedanke, also versteh ich dich (schon wieder Big Laugh

Big Laugh

) nicht

17.11.2014, 22:31

h4mmer

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Nein, mir macht das nichts aus. Aber manche Helfer hier am Board nehmen das (und auch das kann ich verstehen) persönlich.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(-b \leq X \leq b) = \Phi(b) - \Phi(-b) \end{eqnarray*}$

Hier steht nichts, weder über die Verteilung von X noch welche Verteilungsfunktion gemeint ist.

Im Allgemeinen stimmt das nämlich NICHT.

Also versuch doch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E(Z)=0, Var(Z)=1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen, und schreib die Lösung der Aufgabe vollständig auf.

Ich bin für heute off, aber vielleicht kann ja jemand anderer drüberschauen.

Gruß

17.11.2014, 22:39

kadoy

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nun gut da ich mich mit der Varianz und dem Erwartungswert noch weniger auskenne werde ich den Schritt von Z = (X-lambda)/o auslassen und dort hinschreibe dass ich das wegen der Standardnormalverteilung machen kann

sollen sich die Übungsleiter mit mir rumschlagen

18.11.2014, 07:04

h4mmer

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Falls du die Aufgabe nicht schon heute abgeben musst, können wir sie auch gerne zusammen komplett lösen. Informier dich mal über den Erwartungswert und die Varianz (Linearität).

Gruß

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