[Differentialgeometrie] Krümmungsradius Evolute

17.11.2014, 22:12	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
[Differentialgeometrie] Krümmungsradius Evolute Guten Abend, ich sitze gerade bei dieser Aufgabe: Sei x eine ebene bogenlängenparametrisierte Kurve. Sei R = 1/K der Krümmungsradius der Evolute und r = 1/k der Krümmungsradius der Kurve x. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} R(s) = r(s) \| r'(s) \| \end{eqnarray}$ Ich benenne die Evolute von x mit m. $\begin{eqnarray} m = x + \frac{1}{k} n \end{eqnarray}$ Mittels Frenetscher Gleichungen bekomme ich für die Ableitungen (der Tangentenvektor t und der Normalvektor n beziehen sich jeweils auf x): $\begin{eqnarray} m' = x' - \frac{t''}{k^2}<br /> m'' = x'' - \frac{k t''' - 2k' t''}{k^3} \end{eqnarray}$ Nun wird es lustig. Für die Krümmung gilt ja: $\begin{eqnarray} K = \frac{t_m' n_m}{\|m'\|} = \frac{m_1' m_2'' - m_2' m_1''}{(m_1'^2 + m_2'^2)^\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ Egal welche der beiden Wege ich nehme (zuerst Tangenten- und Normalvektor der Evolute berechnen oder direkt mit den Ableitungen in die Formel gehen), der Ausdruck wird enorm (!) lang und um vom Kehrwert dann wieder auf den Krümmungsradius von x zu kommen, muss ich denke ich für t und k die Formeln einsetzen, was das ganze noch viel länger macht. Gibt es da einen Trick, den ich übersehe, oder muss man einfach diszipliniert alles aufschreiben? Danke und freundliche Grüße daLoisl

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »