Paraboloid parametrisieren

18.11.2014, 00:00	Mathe 1905	Auf diesen Beitrag antworten »
Paraboloid parametrisieren Hi, Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe auf die Sprünge bringen ? Würde mich auf eure Hilfe sehr freuen. Ich soll eine Parametrisierung für das Paraboloid $\begin{eqnarray} z=x^{2}+y^{2} ,z\leq 4 \end{eqnarray}$ bestimmen Ansatz: Ich hab mir gedacht, dass man die Gleichung für das Paraboloid in die Kreisgleichung überführt $\begin{eqnarray} \sqrt{z} ^{2} = x^{2}+y^{2} \end{eqnarray}$ somit könnte man sich denken, dass die Parametrisierung wie folgt aussieht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \sqrt{z}\cos(\gamma ) \\ \sqrt{z}\sin(\gamma ) \\ ? \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun weiß ich aber nicht wie die z-Koordinate aussehen soll. Könnt ihr mir sagen ob das bisher richtig ist und wenn ja wie nun die z-Komponente aussehen soll ? Und ist die Aufgabe denn überhaupt geklärt nachdem ich noch die z-Komponente bestimmt habe ?
18.11.2014, 00:29	folker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Die Idee ist schon mal sehr gut. Als Parameter reichen der Radius und ein Winkel aus. Du kannst dir das als Polarkoordinaten mir einer Komponente für die Höhe noch zusätzlich denken. Über leg dir dann in welchem Verhältnis r und x,y bzw in welchem Verhältnis r,phi und x uny y stehen. Aber deine grundlegende Idee ist schon mal gut. Gruß folker
18.11.2014, 00:44	Mathe 1905	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke sehr ! Also ich weiß jetzt nicht genau inwieweit ich das umgesetzt habe was du gemeint hast. Auf jedenfall habe ich jetzt erst mal die x-und y-Komponenten in die Ausgangsgleichung eingesetzt und versucht nach z aufzulösen dabei habe ich z=z erhalten. Ist die Vorgehensweise korrekt ? Wenn ja müsste meine z-Komponente bloß z sein oder ?
18.11.2014, 17:07	folker	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also ich habe mir gerade nochmal die Definition einer Oberflächenparametrisierung durchgelesen und denke, dass das so o.k. ist. Hier lasse ich mich aber gerne korrigieren. Üblicher (zumindest kenne ich diese Darstellung eher) ist aber folgende Darstellung: $\begin{eqnarray} f(\vec{r}, \phi)=\left(\begin{array}{c} r \cdot \cos(\phi) \\ r \cdot \sin(\phi) \\ r^2 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ wobei du natürlich mit $\begin{eqnarray} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ genau das gleiche hast Gruß folker
18.11.2014, 17:10	folker	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst natürlich noch die Wertemengen für z und gamme bzw. r und phi angeben

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