limes komplexe efunktion

18.11.2014, 16:09	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
limes komplexe efunktion Meine Frage: $\begin{eqnarray} \forall z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (1) \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = exp(z) \end{eqnarray}$ Zeigen sie $\begin{eqnarray} A) \end{eqnarray}$ Auf jedem Kreis $\begin{eqnarray} \overline{B_{R}(0)}:= \left\{z\in \mathbb C : \|z\| \leq R\right\} \end{eqnarray}$ ist die Konvergenz in $\begin{eqnarray} (1) \end{eqnarray}$ gleichmäßig $\begin{eqnarray} b) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ hingegen ist die Konvergenz nicht gleichmäßig Meine Ideen: Hi ; ich hab keine Ahnung wie ich das angehen soll,kann mir da einer vielleicht helfen?
18.11.2014, 16:11	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann erstmal A. Was heißt denn "ist die Konvergenz gleichmäßig"? Was ist dafür notwendig?
18.11.2014, 16:29	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die definition davon ist ja $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left\|f_n(x)-f(x)\right\| : x\in\mathbb{D}_f\,\}=0 \end{eqnarray}$ . aber wie kann ich das jetzt anwenden?
18.11.2014, 16:43	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall setzt du $\begin{eqnarray} f_n(z)=(1+\frac{z}{n})^n \end{eqnarray}$ , es ist ja gegeben, dass dann $\begin{eqnarray} f(z)=\lim_{n\to\infty} f_n(z) =\exp z \end{eqnarray}$ ist. Jetzt habt ihr vermutlich $\begin{eqnarray} \exp z := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^n}{k!} \end{eqnarray}$ definiert?
18.11.2014, 17:06	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber wieso $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ das muss doch $\begin{eqnarray} \exp z := \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} \end{eqnarray}$ sein oder? wie kann man ejtzt weiter machen? Bionomischer lehrsatz?
18.11.2014, 17:10	Namenloser324	Auf diesen Beitrag antworten »
Er hat sich nur vertippt, ist natürlich ein k. Jau, binomischer Lehrsatz + Restgliedabschätzung hört sich gut an!
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18.11.2014, 18:51	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
also soll ich das denn so machen $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{z}{n}\right)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}1^{n-k}\left(\frac{z}{n}\right)^k \end{eqnarray}$ oder ist das rubbish? ich komm einfach nicht auf nen ansatz
19.11.2014, 13:00	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
Koennte mir einer sagen ob das so gut ist? Bitte
19.11.2014, 16:15	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit dem Binomischen Lehrsatz arbeiten willst, musst du jetzt $\begin{eqnarray} \|\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{z^k}{n^k} \| \end{eqnarray}$ geeignet abschätzen.
19.11.2014, 16:43	analisis	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh ich kann keine Abschätzung für $\begin{eqnarray} \|\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{z^k}{n^k} \| \end{eqnarray}$ finden....:/

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