Betragsungleichung

18.11.2014, 18:06

mathNoop

Betragsungleichung

Meine Frage:
Hey, habe bis jetzt noch nichts gefunden was mir wirklich geholfen hat.

Aufgabe:

Zeigen sie, dass für alle
$\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$
gilt:

$\begin{eqnarray*} x\leq |x| \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Idee wäre vielleicht eine Fall unterscheidung:

Es gilt:
$\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |-x| = -x \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
Für
$\begin{eqnarray*} x \geq 0 <br /> |x| = x \end{eqnarray*}$

Für
$\begin{eqnarray*} x \textless 0 <br /> |-x| = -(-x) \rightarrow x \end{eqnarray*}$

Irgendwie in der Richtung.

Kleiner stubser wäre nett smile

18.11.2014, 21:04

Che Netzer

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RE: Betragsungleichung

Zitat:

Original von mathNoop
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |-x| = -x \end{eqnarray*}$

Das gilt im allgemeinen nicht. Was soll überhaupt die zweite Gleichung? Soll die auch gelten, d.h. fehlt ein "und" zwischen den beiden Gleichungen? Das würde nur für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ möglich sein.

Zitat:

Für
$\begin{eqnarray*} x \geq 0 <br /> |x| = x \end{eqnarray*}$

Das klingt besser, wobei natürlich ein "ist" oder "gilt" oder dergleichen fehlt.
Mach also eine Fallunterscheidung, ob $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ . Den ersten Fall hast du gerade fast erledigt.

Zitat:

Für
$\begin{eqnarray*} x \textless 0 <br /> |-x| = -(-x) \rightarrow x \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert=\lvert-x\rvert=-x \end{eqnarray*}$ .
Und was soll wieder Pfeil bedeuten?

Ich kann es kaum oft genug erwähnen: Auch in der Mathematik schreibt man Texte, die aus ganzen Sätzen bestehen. Formeln sind dabei nur zur Unterstützung bzw. Abkürzung da. (auch wenn man in Notizen oder Tafelanschriften oft die Sätze drumherum weglässt, weil man sie sich denkt oder sie laut sagt)

19.11.2014, 17:09

mathNoop

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RE: Betragsungleichung
Okay die 1. Gleichung mit "Es gilt" hätte ich vielleicht besser so aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge -x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x <0 \end{eqnarray*}$

Und nun würde ich die Fallunterscheidung vornehmen.

Aus der 1. Gleichung welche die Definition des Betrages ist folgt nun:
1. Fall x >= 0
$\begin{eqnarray*} |x| = x \end{eqnarray*}$
Daraus folgt, dass x hier gleich seinem Betrag ist.

2.Fall x<0
$\begin{eqnarray*} |-x| = -x = -(-x) = x \end{eqnarray*}$
Hier ist der Betrag von x größer als das x selber.

Damit gilt die Gleichung $\begin{eqnarray*} |x| >= x \end{eqnarray*}$ für alle
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ende.

Vielleicht ist es so besser ?

27.11.2014, 11:57

mathNoop

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RE: Betragsungleichung
Hallo ?

27.11.2014, 12:08

klarsoweit

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RE: Betragsungleichung

Zitat:

Original von mathNoop
2.Fall x<0
$\begin{eqnarray*} |-x| = -x = -(-x) = x \end{eqnarray*}$

Erstens geht es um |x| nicht um |-x| und zweitens ist die Gleichung -x = -(-x) Unfug.

Für x < 0 ist |x| > 0 > x . Einfacher geht es doch nicht. Augenzwinkern

27.11.2014, 12:28

mathNoop

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RE: Betragsungleichung
Ja die zweite das habe ich mir auch schon iwie gedacht, aber ist |-x| nicht -(-x) ?

Aber muss ich nicht auch |-x| zeigen ? Da x ja element aus lR ist ?

27.11.2014, 12:42

klarsoweit

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RE: Betragsungleichung

Zitat:

Original von mathNoop
Ja die zweite das habe ich mir auch schon iwie gedacht, aber ist |-x| nicht -(-x) ?

Ja, wenn x > 0 ist.

Zitat:

Original von mathNoop
Aber muss ich nicht auch |-x| zeigen ?

Was willst du denn da zeigen? verwirrt

Es sind die Fälle x >= 0 und x < 0 zu unterscheiden und für jeden Fall die Ungleichung |x| >= x zu zeigen. Und das ist ja auch gemacht worden.

27.11.2014, 13:02

mathNoop

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RE: Betragsungleichung

Zitat:

Original von klarsoweit
Ja, wenn x > 0 ist.

Aber wenn x > 0 ist dann steht doch nur |x| da und bei x < 0 sollte doch |-x| da stehen oder ?

Zitat:

Original von klarsoweit
Was willst du denn da zeigen? verwirrt

Es sind die Fälle x >= 0 und x < 0 zu unterscheiden und für jeden Fall die Ungleichung |x| >= x zu zeigen. Und das ist ja auch gemacht worden.

Ja wenn x < 0 ist hat es doch ein Vorzeichen und die Ungleichung müsste dann

-x <= |-x| heißen oder etwa nicht ?

27.11.2014, 13:36

mathNoop

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RE: Betragsungleichung
Also ich weiß im Grunde nur nicht wie ich es zeigen soll dass die obige Gleichung für ein negatives X gilt.
Das ist glaube ich mein Hauptproblem verwirrt

27.11.2014, 15:39

klarsoweit

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RE: Betragsungleichung
Dein Hauptproblem ist, daß du glaubst, wenn x negativ ist, daß man dann -x schreiben muß. Dem ist aber nicht so. Es ist trotzdem x <= |x| zu beweisen. Und es steht trotzdem |x| und nicht |-x| da.

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