Kardinalität symmetrische Differenz Beweis

18.11.2014, 19:12	nilpferd2	Auf diesen Beitrag antworten »
Kardinalität symmetrische Differenz Beweis Meine Frage: Hallo, bei meinem aktuellen Ü-Blatt hab ich schwierigkeiten mit folgenden Aufgaben: 1.) Es sei A eine Menge mit mindestens zwei Elementen. Zeigen Sie: Durch die Inklusion $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ wird eine Partialordnung auf der Potenzmenge P(A) von A erklärt. Beweisen Sie, dass diese Partialordnung keine Totalordnung ist. 2.) Zu endlichen Mengen A und B sei die symmetrische Differenz AB erkl¨art durch A $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ B = (A \ B) $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ (B \ A). Zeigen Sie, dass für die Mächtigkeit von A $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ B gilt: #(A $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ B) = #A + #B ? 2#(A \ B). Meine Ideen: zu 1.) wir wissen, das für eine Totalordnung im Gegensatz zur Partialordnung folgendes zusätzlich gelten muss: Y $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ X $\begin{eqnarray} \vee \end{eqnarray}$ X $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ Y In einer Potenzmenge von A ( A hat ja mindestens 2 unterschiedliche Elemente) existiert dann in jedem Fall a,b $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ P(A) mit a != b, a={x} und b={y}.Da a nicht Teilmenge von b und b nicht Teilmenge von a ist gezeigt, dass keine Totalordnung vorliegt. Damit müsste es eignetlich schon klar sein. FRage mich nur, ob der GEdanke unvollständig ist. zu 2.) Hier hab ich gar keine Ahnung. Ich weiss zwar, dass man die Kardinalität einer Potenzmenge mittels Induktion beweisen kann, aber mir ist es abdsolut nicht gelungen, dieses Prinzip auf diese AUfgabe zu übertragen. Hier bin ich für Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße

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